Aus der Wirtschaftsmathematik - Versicherungen

Aus der Wirtschaftsmathematik

Versicherungen

o Einführung und Grundbegriffe

o Erlebensfallversicherung

o Leibrentenversicherung

o Todesfallversicherung

o „Gemischte“ Versicherung auf Erleben und Ableben

o Sterbetafel

o Quellenangabe

Einführung und Grundbegriffe

Es gibt verschiedene Arten von Versicherungen. Stets zahlt der Versicherer (die Versicherungsanstalt) dem Versicherten einen Betrag – die Versicherungssumme – aus, wenn der Versicherungsfall eintritt. Der Versicherungsfall ist irgend ein Ereignis, z.b. Ein Unfall, eine Feuersbrunst, ein Einbruch, eine Haftung für ein Verschulden, das Erleben eines bestimmten Alters, ein Todesfall u.a. m. Der Versicherte entrichtet dafür dem Versicherer eine einmalige oder eine jährliche Prämie. Die Höhe der Prämie ist ein bestimmter Bruchteil der Versicherungssumme. Dieser Bruchteil resultiert vor allem aus statistischen Daten über den Einritt des Versicherungsfalles.

Beispiel 1)

Herr Koller ist 45 Jahre alt und will heute eine Lebensversicherung mit einer Versicherungssumme von 75.000 € auf den Erlebensfall abschließen. Dieser Betrag ist ihm auszuzahlen, wenn er 60 Jahre alt wird. Welche einmalige Prämie P muss er heute einzahlen? Es wird ein Zinssatz p von 3% zugrunde gelegt, die Kosten des Versicherers werden nicht berücksichtigt.

1. Lösungsweg:

Aus einer Statistik geht hervor: Von 100.000 Neugeborenen erreichen 91.839 das

Alter von 45 Jahren und 78.734 von ihnen werden 60 Jahre alt. Von den jetzt 45 jährigen erreicht somit ein Anteil von ein Alter von 60 Jahren; das sind rund 86 %. Nur an diese wird die Versicherungssumme ausbezahlt.

Herr Koller muss somit nur diesen Bruchteil der Versicherung einzahlen, das wären * 75.000 €. Da Herr Koller jetzt – also 15 Jahre vor dem möglichen

Erreichen des 60. Lebensjahres – zahlt, erlegt er den Barwert dieses Betrages bezogen auf heute.

B= = 41.270,34 € = P A: Er zahlt somit 41.270,34 €.

2. Lösungsweg:

Wenn sich alle Personen (91.839) der 45-jährigen mit einer Prämie P versichern, dann müssten an die 78.734 Personen, die dann noch leben, je 75.000 € ausgezahlt werden. Die Summe der eingezahlten Prämien ist dann gleich dem Barwert der Summe der ausgezahlten Versicherungssummen:

91.839*P= €

Ad Bsp1)

Berechne den Endwert K₁₅, den der Einzahlungsbetrag von 41.270,34 € von Aufgabe 1 beider Verzinsung zum Zinssatz von 3 % in 15 Jahren erreicht und vergleiche mit der Versicherungssumme 75.000

K₁₅= 64.297,85 €

Die Versicherungssumme ist höher als K₁₅, weil nicht alle 45jährigen (sondern nur ~86%) 60 Jahre alt werden und dann diese Summe erhalten

Reine Erlebensversicherungen sind in der Praxis aber eher selten. Man kann für normale Geldanlagen eine noch höhere Verzinsung erzielen, z.B. durch geschicktes Anlegen auf einem Sparbuch.

Im Bereich der Sozialversicherung gilt der sogenannte „Generationenvertrag“; Die arbeitende Bevölkerung kommt für die Alters- und Invalidenversorgung auf. Im Bereich der freiwilligen Versicherung werden die Leistungen durch die versicherten selbst aufgebracht, etwa nach dem Grundsatz: Viele Versicherte zahlen eine geringe Prämie, und wenige Geschädigte erhalten einen hohen Schadenersatz. Im Idealfall gilt hier das Aquivalenzprinzip:

Leistung der Versicherten = Gegenleistung des Versicherers

Die Versicherung kommt dadurch auf ihre Kosten, dass sie die Prämien der Versicherten zum niedrigen Zinssatz von 3 % verzinst und selbst die Gelder höherverzinst weiterverborgt.

Erlebensfallversicherung

In den bisher betrachteten Beispielen handelt es sich um Erlebensfallversicherungen. Beim Erreichen eines bestimmten Lebensalters tritt der Versicherungsfall ein.

Beispiel 2)

Der jetzt 45-jährige Herr Koller schließt eine Lebensversicherung mit der Summe

ab, die ihm auszuzahlen ist, wenn er 50 Jahre alt wird. Er zahlt aber keine einmalige Prämie, sondern zahlt alljährlich bis (spätestens) zu seinem 49. Lebensjahr eine Prämie P ein.

Wie hoch ist diese bei p=3% ?

Wir benötigen dazu noch die statistischen Daten darüber, wie viele von 100.000 Neugeborenen 45, 46, 47, 48, 49, 50 Jahre alt werden.

Überlegung: Wenn sich alle in der Tabelle genannten versicherten, dann betrüge die Summe der von den Versicherten entrichteten Beträge bezogen auf den jetzigen Zeitpunkt:

91.839*P+ +++

und wäre gleich der Summe aller vom Versicherer ausbezahlten Beträge bezogen auf heute, also P= 13.441,19 €

Vereinfachung:

*P+ +++ =

Um einfacher zu handhabende Werte zu erhalten, die außerdem vom konkreten Beispiel unabhängiger sind, multiplizieren wir in der Gleichung gliedweise mit dem Faktor

+ +++ =

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form , sind Barwerte der Zahl der Lebenden, bezogen auf den Zeitpunkt der Geburt. Man spricht von der „diskontierten Zahl der Lebenden vom Alter x“ und verwendet die Bezeichnung . Es gilt: = . Diese Werte werden ebenfalls in die Tabelle mit den aufgenommen. Wir erhalten somit: P*(D₄₅ +D₄₆+D₄₇+D₄₈+D₄₉) = K*D₅₀

Die Berechnung der Klammer kann mit einem Trick vereinfacht werden. Man nimmt in die Tabelle auch Summenwerte („kumulierte Werte) auf.

Es gilt: N₄₅ = D₄₅+ D₄₆+ D₄₇+ (bis ans Tabellenende)

Allgemein: N_x = D_x+ D_x+1+ D_x+2+

Somit ergibt sich: P*( N₄₅- N₅₀) = K* D₅₀

P =

ad Bsp 2)

Berechnung der jährlichen Versicherungsprämie von Herrn Koller mit der Formel

P =

P = = 13.441,07 €

(anderes Ergebnis als vorher wegen Weglassung der Nachkommastellen in der Sterbetafel)

ad Bsp 1)

Berechnung mit Hilfe der Sterbetafel:

P * K *

P * D₄₅ K * D₆₀

P = 4.126,93 €

(anderes Ergebnis als vorher wegen Weglassung der Nachkommastellen in der Sterbetafel)

Leibrentenversicherung

Eine Rente, die der Bezieher bis zu seinem Tod erhält, heißt Leibrente

Beispiel 3)

Der 59-jährige Herr Falmer sichert sich durch Erlegen von 30.000 € eine Leibrente in der jährlichen Höhe r, die nach einem Jahr beginnt. Wie hoch ist diese Leibrente?

30.000 * = r* + r* + r * +

30.000 * D₅₉ = r* (D₆₀ + D₆₁ + D₆₂ + ,)

30.000 * D₅₉ = r* N₆₀

r =

r = 2.443,53

Die jährliche Leibrente beträgt 2.443,53 €

Beispiel 4)

Die 40-jährige Frau Müller will sich eine jährliche Leibrente von 7.000 € sichern, die mit ihrem 60. Lebensjahr beginnt. Welche jährliche Prämie P muss sie nunmehr bis zu ihrem 59. Lebensjahr entrichten?

P * + P * + + P * = 7.000 * + 7.000 * +

P = P = 2.874,96 €

Todesfallversicherung

Beispiel 5)

Der 40 jährige Herr Müller schließt auf seinen Todesfall eine Versicherung von

ab. Die Versicherungssumme wird dann seinen Erben ausbezahlt. Er zahlt bis zu seinem Ableben jährlich die Prämie P. Wie hoch ist diese Prämie?

Wir gehen davon aus, dass alle 40-,41-, jährigen die Prämie P einzahlen und alle Sterbenden im 40., 41., .. Jahr die Versicherungssumme erhalten.

P * + P * + P * + = 75.000 * + 75.000 * +

P * (D₄₀ + D₄₁ + ) = 75.000 * (C₄₀ + C₄₁ + )

P * N₄₀= 75.000 * M₄₀

P =

P = 1.459,46

Die jährliche Prämie beträgt 1.459,46 €. Obwohl hier der Versicherungsfall sicher eintritt, erscheint die Prämie relativ gering.

„Gemischte“ Versicherung auf Erleben und Ableben

Beispiel 6)

Der 40-jährige Herr Moller versichert einen Betrag von 35.000 €, der an ihn mit dem vollendeten 60. Lebensjahr ausbezahlt werden soll oder im Fall seinen vorherigen Todes an seine Erben am Ende seines Sterbejahres. Er zahlt jährliche Prämien P bis zu seinem 59. Lebensjahr oder seinem vorherigen letzten Lebensjahr.

Wie hoch ist die Prämie P ?

P * + P * + + P * = 35.000 * + + 35.000 * + 35.000 *

Ableben Erleben

P * (D₄₀ + D₄₁ + + D₅₉) * (C₄₀ + … + C₅₉+ D₆₀)

P * (N₄₀-N₆₀) = (M₄₀ – M₆₀ + D₆₀)

P =

A: Die jährliche Prämie beträgt 1.221,83 €.

Die Versicherung auf Erleben und Ableben ist die häufigste Form der Lebensversicherung. Der Versicherungsfall „ Erleben oder ableben“ tritt hier auf jeden Fall ein. Die Prämie erscheint daher relativ gering.