Leitungen

 

Freileitungen

Freileitungen waren ursprünglich unsymmetrisch ausgeführt, d.h. die Übertragung erfolgte in einer Einfachleitung, die Rückleitung durch die Erde. Diese Form ist längst aufgegeben. Heute werden symmetrische Doppelleitungen verwendet, also je ein Draht für Hin- und Rückleitung des Stromes.

Für eine Telefonverbindung werden zwei Doppelleitungen benötigt (Vierdrahtverbindung). Um in diesem konkreten Fall den Einfluß magnetischer Wechselfelder aus eventuell benachbarten Starkstromleitungen und elektrostatische Einflüsse klein zu halten, werden jeweils die vier Drähte eines Sprechkreises zu sogenannten Vierern verseilt. Beim Sternvierer sind alle vier Leitungen gemeinsam verseilt, beim DM-Vierer (Dieselhorst-Martin-Vierer) jeweils zwei Paare.

Bild 2 - Verseilung von Vierdrahtverbindungen (Fernsprech-Vierer).

1: Kupferleiter 3: Papierisolierung mit Adernkennzeichnung

Fernmeldekabel

Fernleitungen werden selbstverständlich nicht nur für einen Anschluß verlegt. Man ist an der Verlegung vieladriger Kabel interessiert. Dazu werden Sternvierer oder DM-Vierer lagenweise zu Bündeln zusammengefaßt.

Bild 3 - Aufbau eines Fernmeldekabels

mit 12 Sternvierern

Trägerfrequenzleitungen

Für Fernleitungen wird mit Hilfe der Trägerfrequenztechnik eine Mehrfachausnutzung der Fernmeldekabel vorgenommen. Weil dabei Trägerfrequenzen bis in den MHz-Bereich zu verarbeiten sind, wurden früher Fernmeldekabel mit Viererverseilung nur für direkte Übertragungen eingesetzt. Jedoch existieren heute hochwertige verseilte Kabel, mit denen bis zu 1,4 MHz übertragen werden können. Die eigentlichen Trägerfrequenzleitungen aber für den Bereich zwischen etwa 100 kHz und 3 GHz werden aus Koaxialkabeln aufgebaut.

Leitungen für höchste Frequenzen

Es existieren heute Koaxialkabel und Wellenleiter für Frequenzen bis etwa 10 GHz. Darüber jedoch sind als Leitungen nur noch Hohlleiter brauchbar.

Allgemeine Leitungseigenschaften

Betriebszustände elektrischer Leitungen

Jeder stromdurchflossene Leiter wird von einem elektromagnetischen Feld begleitet, das den Leiter etwa schlauchförmig umgibt. In einem Zweidrahtsystem (Doppelleitung) wird das begleitete Feld im wesentlichen zwischen den beiden Leitungen konzentriert. Diese elektromagnetischen Felder sind die Träger der Energie, die über die Leitung übertragen werden sollen. Das bedeutet, die Felder stellen die Signale dar. Sie breiten sich mit der Geschwindigkeit c_s längs der Leitung aus, die im verlustfreien Grenzfall gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.

Wellenlänge

Periodischen Schwingungen der Frequenz f kann eine Wellenlänge l zugeordnet werden.

Und zwar gilt

l = , (1)

wenn c_s die oben eingeführte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Felder längs einer Leitung ist. Für den nicht ganz realen Fall, daß sich ein Wechselstrom von 50 Hz mit Lichtgeschwindigkeit auf einer Leitung ausbreitet, folgt aus der oben angeführten Gleichung die Wellenlänge von l 10⁸/50 = 6000 km. Das bedeutet, Leitungen in normalen Lichtnetzen werden immer kurz gegen l sein, so daß sich über die Leitungslängen hin kaum Veränderungen der Strom- und Spannungsamplituden ergeben werden. Ein anderes, realistisches Beispiel sei mit den transatlantischen Telefonkabeln angegeben, auf denen sich die Sprechsignale mit 2 10⁸ m/s über den 3700 km langen Weg ausbreiten, mithin 18,5 ms benötigen. Die Wellenlänge dieser Signalausbreitung liegt im Falle der größten Übertragungsfrequenz von 3,4 kHz bei nur 58,8 km. Das aber bedeutet, daß etwa 63 Perioden auf die Leitung passen, mithin der Wellenvorgang bei der Signalausbreitung "sichtbar" wird.

Elektrische Länge einer Leitung

Ob Strom- und Spannungsverläufe auf einer Leitung konstant oder ortsabhängig sind, ist in vielen Fällen von Wichtigkeit. Die Verhältnisse in diesem Zusammenhang drückt man aber nicht absolut beispielsweise über die Leitungslänge l aus, sondern man benutzt dazu den Quotienten von l durch l, weil so unterschiedliche Frequenzen oder Ausbreitungsgeschwindigkeiten berücksichtigt werden.

Man beachte, daß es sich bei dieser "Länge" um eine dimensionslose Größe handelt !!!

Stationärer Zustand

Für den Fall 0 sind keine Veränderungen der Strom- und Spannungsamplituden auf der Leitung wahrnehmbar, d.h. Strom und Spannung haben an allen Punkten der Leitung zu jeder Zeit denselben Wert. Es ergibt sich also ein stationärer Zustand.

Quasistationärer Zustand

Der Grenzfall 0 ist kaum realisierbar. Wenn aber 0,01 gilt, kann man in erster Näherung davon ausgehen, daß Strom und Spannung auf der Leitung nahezu (quasi) konstant bleiben. Für elektrisch kurze Leitungen ergibt sich also ein quasi-stationärer Zustand.

Nichtstationärer Zustand

Wird > 0,01 kann die Ortsabhängigkeit von Strom und Spannung nach Betrag und Phase nicht mehr vernachlässigt werden. Solch elektrisch lange Leitungen weisen im Betrieb ein Verhalten auf, das als nichtstationärer Zustand bezeichnet wird.

Eingeschwungener Zustand

Bei Amplitudenänderungen, insbesondere beim Ein- und Ausschalten, treten Ausgleichsvorgänge auf, die nach einem endlichen Zeitraum abgeschlossen sind. Mit anderen Worten : der gewünschte "einheitliche" Zustand auf einer Leitung stellt sich immer erst nach einer gewissen Zeit ein, wenn nämlich die Ausgleichsvorgänge abgeschlossen sind. Der einheitliche Zustand wird eingeschwungener Zustand genannt (Siehe Bilder 4 und 5).

Bild 4 - Einschalten einer Sinusschwingung                  Bild 5 - Einschwingverhalten bei einer Recht-

eckschwingung

Ersatzschaltungen und mathematische Behandlung

Es ist allgemeiner Brauch, Kondensatoren durch Kapazitäten C und Spulen durch Induktivitäten L darzustellen. In ähnlicher Weise sind für Leitungen Ersatzschaltbilder entwickelt worden, um mit bekannten Symbolen und in anschaulicher Weise Wellenausbreitungen beschreiben zu können. Im Bild wird ein einfaches Leitungsersatzschaltbild gezeigt, in dem zunächst Verluste bei der Wellenausbreitung nicht berücksichtigt sind.

Bild 6 - Einfaches Leitungsersatzschaltbild

R_i : Generatorinnenwiderstand

R_L : Lastwiderstand

L_L : Induktivität und C_l Kapazität eines Leitungsstückes der

Länge l

Danach wird eine Zweidrahtleitung (Doppelleitung) dargestellt durch Aneinanderreihung von Längsinduktivitäten L_l und C_l. Jeder Strom i in den Leitern erzeugt ein magnetisches Feld und somit pro Leitungsstück der Länge l einen Magnetfluß.

F = L_l i . (2)

Entsprechend erzeugt eine Spannung u zwischen den beiden Leitern ein elektrisches Feld und somit pro Leitungsstück die Ladung

Q_l = C_l u .

Ausbreitungsvorgang

Mit den aus den Gleichungen definierten Größen L_l und C_l läßt sich der Ausbreitungsvorgang auf einer mit der Ersatzschaltung beschriebenen Leitung etwa folgendermaßen erklären:

Die Generatorspannung lädt die erste Querkapazität C_l1 auf, wodurch über die erste Längsinduktivität L_l1 eine Spannung aufgebaut wird. Damit beginnt durch L_l1 ein Strom zu fließen, der C_l1 entlädt und gleichzeitig C_l2 auflädt. Dieser Vorgang wiederholt sich von Glied zu Glied, und es entsteht eine Ausbreitung des angelegten Signals mit einer endlichen Geschwindigkeit, die von den Größen L_l und C_l abhängt.

Verfeinertes Ersatzschaltbild

Das einfach Ersatzschaltbild genügt zwar zur qualitativen Beschreibung des Ausbreitungsvorganges, nicht aber für eine quantitative Untersuchung, womit die Herleitung der Leitungsgleichungen gemeint ist. Dazu ergänzt man das einfache Ersatzschaltbild durch Längswiderstände R_l und Querleitwerte G_l d.h. man berücksichtigt ohmsche Verluste, womit das Ersatzschaltbild in der folgenden Abbildung entsteht. Jede reale Leitung kann nun durch Aneinanderreihung solcher Leitungselemente dargestellt werden.

Bild 7 - Verfeinertes Ersatzschaltbild

R_L : Ohmscher Widerstand und

G_L : Leitwert des Leitungsstückes

Leitungsbeläge

Es hat sich als nützlich herausgestellt, die Leitungsersatzgrößen R_l , L_l ,G_l und C_l nicht absolut, sondern pro Längeneinheit anzugeben. Diese Größen bezeichnet man als Leitungsbeläge und macht sie durch einen hochgestellten Strich erkenntlich. Es entstehen:

Mathematische Behandlung

Um die Leitungsgleichungen herleiten zu können, betrachten wir sehr kleine Leitungselemente der Länge Dl und die auf diese "kurze" Länge bezogenen Beläge. Nun lassen wir Dl sehr klein werden, machen also den gedanklichen Schritt zu einer mathematischen "unendlich kurzen" Leitungslänge. Führt man noch ein rechtwinkeliges Koordinatensystem ein und legt die Leitung in z-Richtung, können wir für die Leitungselemente anstelle von Dl die infinitesimale Längeneinheit dz einführen. Damit ergibt sich folgendes Bild mit einem Leitungsstück der Länge dz. Bezogen auf den Anfang dieses Stückes haben sich am Ende Strom i und Spannung u verändert auf den Betrag

Bild 8 - Leitungsersatzschaltbild mit mathematisch "unendlich"

Kurzer Länge dz und Anderungen von Strom und

Spannungen über diese Länge

I + dz und u + dz. (4)

Das bedeutet, auf dem Wegstück der Länge dz ändern sich Strom und Spannung nach Maßgabe der Leitungseigenschaften. Diese örtliche Veränderung über dem Leitungsstück dz wird mathematisch als partielle Ableitung nach dem Weg angegeben, multipliziert mit der Länge dz des Leitungsstückes (Ebenfalls möglich und im folgendem auch verwendet sind partielle Ableitungen nach der Zeit .)

Maschengleichung

Mit den eben definierten Strom- und Spannungsänderungen lassen sich aus den Kirchhoffschen Gesetzen für das Leitungselement aus Bild 8 Leitungsgleichungen herleiten. Eine erste folgt durch Verwendung der Maschenregel, wonach in einer Reihenschaltung eines geschlossenen elektrischen Kreises die Summe aller Spannungsabfälle konstant ist (2. Kirchhoffsches Gesetz). Danach ergibt sich :

U = R´dz i + L´dz + u + dz. (5)

Knotengleichung

Eine zweite Gleichung folgt durch Verwendung der Knotenregel, wonach in einer Parallelschaltung eines geschlossenen elektrischen Kreises die Summe aller Ströme konstant ist (1. Kirchhoffsches Gesetz). Somit lesen wir aus dem Bild ab

I = G´dz u + C´dz + i + dz (6)

Differentialgleichungen der elektrischen Leitung

Werden die oben dargestellten Gleichungen durch dz geteilt, entsteht ein Gleichungssystem, das die Basis für alle Betrachtungen der Leitungstheorie bildet:

(7)

Es handelt sich hier um sogenannte Differentialgleichungen, in denen Strom und Spannung miteinander verkoppelt sind. Oft sind die Leitungsbeläge R´, L´, G´, C´ nicht alle existent, oder es sind mitunter die Beläge so unterschiedlich groß, daß die kleineren vernachlässigt werden können, wodurch sich das oben angeführte Gleichungssystem vereinfacht. Sind z.B. L´ und C´ sehr klein, folgt :

= - R´i und = - G´u . (8)

Daraus erkennt man formale Ahnlichkeiten mit dem ohmschen Gesetz, wenn beachtet wird, daß R´ und G´ Widerstand bzw. Leitwert pro Längeneinheit bedeuten.

Leitungsgleichungen

Zur Lösung der Gleichungen 7 verwenden wir Sinusschwingungen der Frequenz w, deren Augenblickswerte geschrieben werden als :

x(t) = Re e^jwt

Oder mit dem Effektivwert

(9)

X =

= X

x(t) = Re [e^jwt

Wir setzen diese Gleichung in Gleichung 7 ein, indem wir für die allgemeine Größe x Spannung u bzw. Strom i schreiben. Außerdem wird verwendet, daß die zeitlichen Ableitungen ergeben :

[ X e^jwt ] = jwX e^jwt = jw (10)

weil die Ableitung einer e-Funktion diese wieder eine e-Funktion ergibt und die innere Ableitung den Faktor jw ergibt. Wir können somit im folgenden stets für den Faktor jw einsetzen. Damit folgt schließlich :

X = = - (R´+ jwL´) i

u(t) = Re = - Re [(R´+ jwL´) I e^jwt (11)

i(t) = Re = - Re [(G´+ jwC´) U e^jwt

Die partiellen Ableitungen d () konnten durch normale ersetzt werden, weil nur noch die Ableitungen nach z übriggeblieben sind.

Differentialgleichungen für U und I

Die oben beschriebenen Gleichungen sind erfüllt, wenn gilt

(12)

Dies sind die Differentialgleichungen der Effektivwerte von Spannung und Strom im eingeschwungenen Zustand. Zur Lösung dieser Gleichungen differenziert man die erste

Gleichung nach z und setzt aus der zweiten Gleichung in die erste ein :

= (R´+ jwL´) (G´+ jwC´) U                                                         (13)

Setzen wir zur Abkürzung g = (R´+ jwL´) (G´+ jwC´), erhalten wir :

(14)

Lösung der Wellengleichung

Lösungen der Wellengleichung (14) sind

U₁ e^-gz und U₂ e^gz

Integrationskonstanten

wobei U₁ und U₂ beliebige komplexe Konstanten sind. Die allgemeine Lösung der Wellengleichung folgt aus der Addition beider Teillösungen, also

(15)

Lösung für den Strom

Eine Lösung für den Effektivwert des Stromes erhält man, wenn man die erste der Gleichungen (12) nach I aufgelöst und für U die Lösung für die Spannung Gleichung (15) eingesetzt wird :

= -(R´+ jwL´) I                            = g U

= g (U₁ e^-gz - U₂ e^gz (16)

I = - = (U₁ e^-gz - U₂ e^gz

Durch einsetzen von g (Gleichung 14) entsteht :

= wird diese Zeile quadriert, erhält man :

kürzt man hier das (R´+ jwL´) weg, erhält man :

daraus erhält man dann als Endergebnis den

(17)

Nun ergibt sich für den Strom

(18)

Integrationskonstanten U₁ , U₂

In den Lösungen für die Spannung Gleichung 15 und den Strom Gleichung 18 sind noch die Integrationskonstanten U₁ und U₂ zu bestimmen. Das gelingt, indem man beispielsweise Strom und Spannung am Anfang a der Leitung, also bei z = 0 betrachtet. Es folgt aus Gleichung 15 :

U(0) = U₁ + U₂ = U_a   U₁ = U_a - U₂

I(0) = (U₁ - U₂) = I_a U₂ = U₁ - I_a Z dieses U₂ oben einsetzen :

U₁ = U_a - U₁ + I_a Z daraus ergibt sich :

U₁ = und U₂ = (19)

Leitungsgleichungen

Durch einsetzen der Integrationskonstanten Gleichung 19 in Gleichung 15/18 entsteht die sogenannte physikalische Form der Leitungsgleichungen :

(20)

Eine andere Schreibweise der Leitungsgleichungen ergibt sich, wenn die Koeffizienten U_a, I_a, ZI_a und U_a / Z zusammengefaßt werden :

U(z) = U_a - ZI_a

(21)

I(z) = I_a - .

Da die mathematische Form von

= sinh x

und

= cosh x

ist, folgt daraus die mathematische Form der Leitungsgleichungen :

(22)

Aus diesem Zusammenhang ergibt sich dann das A_ik aus den A-Parametern :

U₁ = A₁₁U₂ + A₁₂ (-I₂)

I₁ = A₂₁U₂ + A₂₂ (-I₂)

wobei :

g_w = g z (z=l)

T        A_ik =                                                        (23)

Telegrafengleichung

Wenn wir aus den bisher verwendeten Leitungsgleichungen den Strom eliminieren, erhält man eine Differentialgleichung für die Spannung u. Dazu differenzieren wir die erste Gleichung partiell nach x, die andere partiell nach t :

                              

Setzt man aus der rechten Gleichung und aus den Leitungsgleichungen in die linke Gleichung ein, so ergibt sich :

(24)

Diese partielle Differentialgleichung mit konstanten reellen Koeffizienten bezeichnet man als Telegrafengleichung für die Spannung u. Wie man leicht erkennen kann, hätte man bei Eliminieren der Spannung die gleiche Differentialgleichung für den Strom i erhalten; d.h. wenn uns der Strom interessiert, brauchen wir nur in die zuletzt geschriebene Gleichung u durch i ersetzen.

Wellenausbreitung

In diesem Abschnitt sollen die Leitungsgleichungen interpretiert werden und damit die Ausbreitung von Wellen auf Leitungen diskutiert werden.

Zeit- und Ortsabhängigkeit

Die komplexen Leitungsgleichungen sind für eine Diskussion in Gleichungen für die Augenblickswerte u und i umzuformen, denn nur daran lassen sich die orts- und zeitabhängigen Vorgänge auf Leitungen ablesen. Dazu verwenden wir für die Ausbreitungskonstante die Form g a + jb und weiterhin den Zusammenhang zwischen Augenblickswert und Effektivwert : x = Re X e ^jwt

Daraus folgt :

U = U₁ e ^-gz + U₂ e ^gz u(t) = Re U e ^jwt

e^gz = e ^az e ^jbz g a + jb

u(z,t) = Re [U­₁ e ^-az e ^-jbz e^jwt + U₂ e ^az e ^jbz e^jwt

(25)

i(z,t) = Re .

Weiterhin wird verwendet, daß :

Re [e ^az] = e ^az und e ^jj = cos j j sin j

wodurch :

Re [ e ^{j (wt - bz)}] = cos (wt - bz)

Re [e ^{j (wt + bz)}] = cos (wt + bz)

Damit ergibt sich :

(26)

Grafische Darstellung

Eine Interpretation der Gleichungen führt zuerst zu der Erkenntnis, daß sowohl Strom als auch Spannung aus jeweils zwei Anteilen bestehen, die mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet sind. Zu erkennen ist auch, daß beide Teile Kosinusschwingungen der Kreisfrequenz w sind, deren Gesamtphase -bz bzw. +bz beträgt.

Der Spannungsverlauf der Gleichung

u(z,t) = e ^-az cos (wt - bz) + e ^az cos (wt + bz)                   (27)

ist im unteren Bild wiedergegeben :

Bild 9 - Grafische Darstellung von Gleichung 27 mit einfallender

und reflektierter Welle

Einfallende Welle

Der erste Anteil von Gleichung 27 stellt eine nach rechts (in z-Richtung) verlaufende Welle dar, deren Amplitude längs der Leitung mit e ^-az abnimmt - dies ist die einfallende Welle mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit :

bPhasenkonstante

(28)

wKreisfrequenz

Reflektierte Welle

Ebenso gilt, daß der zweite Anteil von Gleichung 27 eine nach links (in negativer z-Richtung) verlaufende Welle beschreibt, deren Amplitude längs der Leitung ebenfalls mit e ^a(-z) = e ^-az abnimmt. Weil im hier verwendeten Beispiel am Anfang der Leitung eingespeist wird, kann es sich nur um eine vom Ende der Leitung reflektierte Welle handeln.

Anpassung

Ein wichtiger Sonderfall ergibt sich, wenn vom Ende der Leitung keine Welle reflektiert wird. Dazu muß entweder die Leitung unendlich lang sein, so daß am Ende keine Energie mehr ankommt, mithin auch nichts reflektiert werden kann. Oder es muß die am Leitungsende eintreffende Energie vollständig von einem Verbraucherwiderstand absorbiert werden. Die Bedingungen für das Verschwinden der rücklaufenden Welle lautet nach Gleichung 20 :

U_a - ZI_a = 0.

Das bedeutet, wenn der Abschlußwiderstand R = Z wird, gibt es keine Reflexion am Leitungsende.

Reflexionsfaktor

Im allgemeinen Fall kann man nicht von einer Anpassung ausgehen, vielmehr wird ein beliebiger Abschlußwiderstand zu berücksichtigen sein, so daß mit Reflexionen zu rechnen ist. Nehmen wir an, daß die Leitung mit einem beliebigen Widerstand R abgeschlossen ist, die Spannung über diesen Widerstand also beschrieben werden kann als U_e = RI_e. Dann können wir mit Gleichung 20 schreiben :

U(z) = (R + Z) I_e e ^-gz + (R - Z) I_e e ^gz (29)

Daraus bilden wir das Verhältnis der rücklaufenden Welle :

(30)

und es ergibt sich der Reflexionsfaktor :

(31)

Eine andere Schreibweise ergibt sich, wenn das komplexe Widerstandsverhältnis z = R/Z eingeführt wird :

(32)

Leerlauf

Bei Anpassung wirkt der Abschlußwiderstand R = Z für die Leitungswelle so, als wenn die Leitung "unendlich" weitergeführt würde. Recht bildlich wird manchmal gesagt, daß die Welle sozusagen überlistet würde, weil sie im Abschlußwiderstand R = Z eine Fortführung der Leitung zu sehen meint und darum ahnungslos in diesen Widerstand hineinwandert. Mathematisch wird dieser Fall durch einen Reflexionsfaktor r = 0 beschrieben. Ein weiterer Sonderfall ist der einer leerlaufenden Leitung, wenn also eine Leitung mit einem sehr hohen Widerstand abgeschlossen ist (im Grenzfall unendlich groß). Praktisch wird dieser Fall durch eine am Ende offene Leitung realisiert, wobei der sehr hohe Abschlußwiderstand durch die Luft zwischen den Leitungen gebildet wird. Mit den beiden Gleichungen für den Reflexionsfaktor ergibt sich für R = ein Reflexionsfaktor für

Leerlauf : r = 1.

Das bedeutet, die einfallende Welle wird vollkommen reflektiert.

Strom- und Spannungsverlauf

Um den Strom- und Spannungsverlauf auf einer Leitung und am Leitungsende diskutieren zu können, setzen wir in der physikalischen Form der Leitungsgleichungen (20) die "Endwerte" von Strom und Spannung ein (I_e und U_e) und beziehen außerdem die Ausbreitungskonstante z auf die Leitungslänge l; dann folgt

U(z) = (U_e + ZI_e) e ^{g (l-z)} + ( U_e - ZI_e) e ^{-g (l-z)}

e^-gz = e^{g (l-z)} T l = 0       (33)

I(z) = ( + I_e) e ^{g (l-z)} - (- I_e) e ^{-g (l-z)}

Nun verwenden wir, daß für eine am Ende offene Leitung I_e = 0 gelten muß, so daß aus der Gleichung für Leerlauf entsteht :

(34)

Die Gleichung für den Strom ist mit Z multipliziert, um in dem unten angeführten Bild denselben Maßstab verwenden zu können. Am Ende der Leitung, bei z = l also, werden die Gleichungen zu :

U(z=l) = U_e und I_e(z=l) = 0.

Auf der Leitung selbst haben Strom und Spannung den gleichen oszillierenden Verlauf, jedoch so gegeneinander verschoben, daß der Strom dort minimal wird, wo die Spannung maximal ist und umgekehrt dort Strommaxima liegen, wo die Spannung minimal ist.

Bild 10 - Strom und Spannungsverlauf bei Leerlauf am

Leitungsende

Kurzschluß

Ein idealer Kurzschluß ist dadurch gekennzeichnet, daß R = 0 gilt. Damit ergibt sich nach Gleichung 31 ein Reflexionsfaktor für

Kurzschluß : r = -1.

Das bedeutet, die einfallende Welle wird wie bei Leerlauf vollkommen reflektiert, nur ist nicht die reflektierte Welle am Ende der Leitung in Phase mit der einfallenden, sondern bei Kurzschluß sind einfallende und reflektierte Welle um 180° phasenverschoben. Mit der Bedingung, daß für die am Ende kurzgeschlossene Leitung U_e = 0 wird, entsteht aus Gleichung 33 für Kurzschluß :

(35)

Am Ende der Leitung wird

U(z=l) = 0 und I(z=l) = I_e .

Auf der Leitung selbst haben Strom und Spannung wieder den gleichen oszillierenden Verlauf, nur haben sie gegenüber Leerlauf sozusagen ihre Rollen vertauscht. D.h. Bild 10 gilt auch für Kurzschluß, wenn Strom und Spannung ausgetauscht werden

Bild 11 - Strom- und Spannungsverlauf bei Kurzschluß am

Leitungsende

Verlustlose Leitung

Der Sonderfall einer verlustlosen oder dämpfungsfreien Leitung ist besonders leicht faßbar. Dann sind nämlich R´ und G´ gleich Null und es gilt a = 0. D.h. die exponentielle Anderung von Strom- und Spannungsamplituden verschwindet; Strom und Spannung haben über die ganze Leitungslänge eine konstante, ungedämpfte Amplitude. In der dreidimensionalen Darstellung im Bild auf der nächsten Seite erkennt man, daß die komplexen Verläufe von Strom und Spannung im Falle der verlustbehafteten Leitung einen Rotationskörper bilden, dessen Mantel sich in z-Richtung exponentiell verjüngt. Im Falle der verlustlosen Leitung entartet dieser Rotationskörper in einen Kreiszylinder. Die Schraubenlinien auf den Rotationskörpern geben den Einfluß der Phasenkonstanten b wieder (Imaginärteil von g

Bild 12 - Rotationskörper der komplexen Strom- und

Spannungsverläufe

Links : verlustbehaftete Leitung (a

Rechts : verlustlose Leitung (a

Stehende Wellen

Für im Leerlauf oder Kurzschluß betriebene verlustlose Leitungen ergibt sich folgende Besonderheit : Der Reflexionsfaktor ist dem Betrage nach gleich Eins, d.h. hin- und rücklaufende Wellen haben entlang der Leitung gleiche Amplitude. Jedoch addieren sie sich einmal zum doppelten Wert der Einzelwelle, zum anderen heben sie sich gerade auf. Strom und Spannung sind um 90° in der Phase verschoben, so daß sich das unten angeführte Bild ergibt. Man bezeichnet diesen Sonderfall mit dem Ausdruck stehende Wellen

Bild 13 - Verlustlose Leitung im Leerlauf oder Kurz-

Schluß führt zur Ausbildung stehender Wellen

Phasenverschiebung zwischen Strom und

Spannung beträgt 90°

Eingangswiderstand

Gemäß Bild 14 kann eine Doppelleitung als Vierpol aufgefaßt werden. Der Zusammenhang zwischen Strömen und Spannungen an den Klemmenpaaren am Anfang a und Ende e der Leitung ist durch die Leitungsgleichungen bestimmt. Dabei ist zu bedenken, daß der räumliche Verlauf von Strom und Spannung längs der Leitung durch den gegebenen Leitungsabschluß erzwungen wird. Darum wird oft von Bedeutung sein, wie groß der Widerstand am Anfang der Leitung in Abhängigkeit von Leitungsabschluß und Leitungslänge ist. Dieser Eingangswiderstand ergibt sich aus :

R_a =

Bild 14 - Doppelleitung als Vierpol

Berechnung des Eingangswiderstandes

Zur Berechnung des Eingangswiderstands einer Leitung gehen wir von der mathematischen Form der Leitungsgleichung aus. Jedoch verwenden wir dabei nicht die auf den Leitungsanfang bezogenen Formen Gleichung 22, sondern wir formen die auf das Leitungsende bezogenen Gleichungen 33 entsprechend um. Es ergibt sich :

U(z) = U_e cosh g (l-z) + ZI_e sinh g (l-z)

I(z) = I_e cosh g (l-z) + sinh g (l-z) .

Am Anfang der Leitung ist z = 0. Somit folgt :                    

U(z=0) = U_a = U_e cosh gl + ZI_e sinh gl

I(z=0) = I_a = I_e cosh gl + sinh gl .

Setzen wir diese Gleichungen zusammen mit R_l = U_e / I_e in R_a = ein, entsteht :

R_a = Z

oder

(38)

Sonderfälle des Eingangswiderstandes

Nach Gleichung 38 ist der Eingangswiderstand R_a eine Funktion des Abschlußwiderstands R_l. Weitere Informationen sind aus diesem komplexen Ausdruck jedoch nur schwer zu entnehmen. Darum sollen zwei Sonderfälle betrachtet werden :

Leerlaufwiderstand nennt man den Eingangswiderstand, der sich für eine am Ende leerlaufende Leitung ergibt. Dann ist I_e = 0, und es entsteht aus Gleichung 35 :

R_a (Leerlauf) = Z coth gl                                                           (39)

Kurzschlußwiderstand heißt der Eingangswiderstand, wenn U_e = R_l = 0 ist. Dann folgt

R_a (Kurzschluß) = Z tanh gl.                                                     (40)

Mit Hilfe des unten angeführten Bildes können wir schließen, daß für hinreichend große Argumente hyperbolischer Tangens und Kotangens gleich 1 gesetzt werden können. Daraus folgt :

Bild 15 - Verläufe von tanh x und coth x

Leitungskonstanten

Im Kapitel Leitungsgleichungen wurden die für die Wellenausbreitung auf Leitungen maßgeblichen Größen Ausbreitungskonstante g und Wellenwiderstand Z definiert; beide hängen von den Leitungsbelägen R´, L´, G´ und C´ ab. Für diese sechs, eine Leitung charakterisierenden Größen wurde folgende Einteilung eingeführt :

Primäre Leitungskonstanten

Die Berechnung der Leitungsbeläge ist in der Regel äußerst schwierig. Hier sollen darum am Beispiel Koaxialleitung nur grob qualitativ die Frequenzabhängigkeiten der Beläge angegeben werden. So ergibt sich die erfreuliche Tatsache, daß Induktivitätsbelag L´ und Kapazitätsbelag C´ von der Frequenz nahezu unabhängig sind. R´ und G´ jedoch sind stärker von der Frequenz abhängig. Für hohe Frequenzen gilt :

R´                      und G´ w

Im unten dargestellten Bild sind diese Abhängigkeiten dargestellt. Bei tiefen Frequenzen weicht R´ von der Proportionalität zur Wurzel aus der Frequenz ab und läuft bei w = 0 in den Gleichstromwert R´_o .

Bild 16 - Widerstandsbelag R´ und Leitwertbelag G´ als Funktion

der Frequenz für eine Koaxialleitung

Sekundäre Leitungskonstanten

Aus den Gleichungen 14 und 17 wissen wir, daß für die sekundären Leitungskonstanten gilt :

g = = a + jb

Z = .

Es sollen für ein paar wichtige Sonderfälle Näherungen für g und Z angegeben werden.

Verlustlose Leitung

Sind keine Verluste vorhanden, ist also a = 0, muß nach Gleichung 14 auch R´= G´= 0 sein. Dann folgt sofort Z = und b w . Der Wellenwiderstand wird also reell und frequenzunabhängig.

Freileitungen

Für diesen wichtigen Leitungstyp (Telefon) gilt, wenn der Leitungsquerschnitt genügend groß ist, daß der Ableitungswiderstand verschwindet (G 0), der Induktivitätsbelag aber groß wird, also wL´ >> R´ angenommen werden kann (außer bei ganz niedrigen Frequenzen). Dann ergeben sich :

Z = , a = und b w .

Wellenwiderstand und Phasenkonstante stimmen also mit den Ergebnissen der verlustlosen Leitung überein.

Leitung mit geringem Querschnitt

Wenn der Leitungsquerschnitt klein wird, muß man tiefe und hohe Frequenzen getrennt betrachten. Bei tiefen Frequenzen kann G´ 0 und R´ wL´ angenommen werden. Damit ergibt sich Z = und a b = . Bei hohen Frequenzen stimmen Z , a und b mit den Ergebnissen für Freileitungen überein.

Verzerrungsfreie Leitung

Eine Leitung wird als verzerrungsfrei bezeichnet, wenn Dämpfung und die in Gleichung 28 angegebene Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der Leitung unabhängig von der Frequenz sind. Die Bedingung dafür lautet :

Verzerrungsfreie Leitung

Damit ergibt sich a = R´ . Z und b stimmen wieder mit den Ergebnissen der verlustlosen Leitung überein.

Ergebnisse für Z , a und b

In der nachfolgenden Tabelle sind die eben ermittelten Ergebnisse für Wellenwiderstand sowie Dämpfungs- und Phasenkonstante (real- und Imaginärteil der Ausbreitungskonstanten

g) gesammelt. Das auffälligste Ergebnis ist, daß bei hohen Frequenzen immer Z gegen und b gegen w gehen.

Bild 17 - Frequenzabhängigkeit von a und b Bild 18 - Begriffe "starke" und "schwache" Dämpfung

Bild 19 - Ortskurven U (x/l) und I (x/l) bei Wellenwiderstandsabschluß

Phasengeschwindigkeit

Die mit Gleichung definierte Ausbreitungsgeschwindigkeit von Leitungswellen wird Phasengeschwindigkeit genannt. Diese Bezeichnungsweise rührt daher, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = w b das Wandern der Nulldurchgänge von Strom oder Spannung und damit die zeitliche Anderung der Phase beschreibt (Ausbreitung der Wellenphase). Für sämtliche in der Tabelle angegebenen Fälle mit b w ergibt sich für die Phasengeschwindigkeit :

(41)

Diese wichtige Gleichung besagt, daß unter den gegebenen Bedingungen die Phasengeschwindigkeit praktisch von der Frequenz unabhängig ist.

Gruppengeschwindigkeit

Das Wandern der Nulldurchgänge auf Leitungen muß nicht notwendigerweise mit derselben Geschwindigkeit geschehen wie das Ausbreiten der in den Leitungswellen enthaltenen Energie. Darum hat man neben der Phasengeschwindigkeit die Gruppengeschwindigkeit eingeführt, deren mathematische Beschreibung lautet :

(42)

Sie ergibt sich also als Ableitung der Frequenz nach der Phasenkonstante. In vielen Fällen ist jedoch v = v_g .Wenn aber v v_g gilt, sagt man, die Leitung hat Dispersion (Auseinanderlaufen).

Eigenschaften spezieller Leitngen

Koaxialkabel

Für Frequenzen ab etwa 100 kHz werden heute überwiegend Koaxialkabel verwendet. Vor allem im MHz-Bereich bis hinauf zu etwa 3 GHz ist das Hauptfeld für Koaxialkabel, weil hier dieser Leitungstyp bei geringen Abmessungen sehr niedrige Dämpfungsverluste aufweist und die koaxiale Bauweise besonders sicher gegen Störbeeinflussungen ist. Weiterhin gilt als vorteilhaft, daß die Dämpfung auf Koaxialleitungen witterungsunabhängig ist.

Prinzipieller Aufbau

Der prinzipielle Aufbau eines Koaxialkabels ist in Bild 20 dargestellt. Es ist ein massiver Innenleiter (Kupferdraht) von einer Isolation und einem rohrförmigen Außenleiter umgeben, wobei der Außenleiter durch einen isolierenden Mantel geschützt ist. Durch diese koaxiale Anordnung ist der signalführende Innenleiter gegen äußere Störfelder weitgehend abgeschirmt.

Bild 20 - Prinzipieller Aufbau

eines Koaxialkabels

Fernsprechkoaxialkabel

Für das öffentliche Fernsprechnetz wurden nach 1945 vom CCITT international Koaxialkabel genormt (CCITT: Comite Consultatif International Telegraphique et Telephonique, etwa : Internationaler beratender Ausschuß für den Telegrafen- und Fernsprechdienst). Bei der sogenannten CCI-Normaltube 2,6/9,5 handelt es sich um eine Ausführung mit einem kupfernen Innenleiter von 2,64 mm Durchmesser, der gemäß Bild 21 durch scheibenförmige Distanzstücke aus Polyäthylen oder Teflon geschoben ist. Darum wird ein aus einem Kupferband gebogener Außenleiter von 9,52 mm Durchmesser geschoben, der durch dünne Stahlbänder stabilisiert und durch einige Lagen Papierband geschützt ist. Mehrere solcher Leitungen werden zusammen zu Fernmeldekabeln verseilt. Oft sind sie auch zusammen mit Doppelleitungen oder Vierern verseilt.

Bild 21 - Koaxialkabel für das öffentliche Fernsprech-

netz

Wellenwiderstand

Eine wichtige Bestimmungsgröße für das Koaxialkabel ist der Wellenwiderstand Z, der im allgemeinen eine komplexe Größe ist. Für praktische Anwendungen genügt jedoch die Kenntnis des Realteiles. Man erhält ihn aus dem Logarithmus des Verhältnisses der Durchmesser vom Außenleiter D und Innenleiter d (Bild 22)

(43)

Der Verlauf dieses Wellenwiderstandes ist im Bild 23 dargestellt, jedoch multipliziert mit der Wurzel aus der Dielektrizitätskonstanten.

Bild 23 - Wellenwiderstand von Koaxialkabeln in Abhängigkeit

Bild 22 - Bestimmungsgrößen                         vom Durchmesserverhältnis

Für den Wellenwiderstand von

Koaxialkabeln

Dämpfungskonstante

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist selbstverständlich die Dämpfungskonstante a. Für Fernsprech- und Empfängerkoaxialkabel kann die im Kapitel "Leitungskonstanten" angegebene Näherung für Leitungen mit geringem Querschnitt bei hohen Frequenzen benutzt werden, also :

a = .

Mit der ebenfalls eingeführten Näherung Z = kann die obige Gleichung geschrieben werden als

(44)

Die Dämpfung setzt sich also zusammen aus einer Längsdämpfung a_R und einer Querdämpfung a_G . Man wünscht sich a_R klein und a_G groß. Dies wird möglich, wenn Z groß ist. Verwenden wir Gleichung 43, wird ersichtlich, daß Z groß wird bei einem großen Verhältnis D/d. Koaxialkabel mit großem Außendurchmesser werden darum ein günstiges Dämpfungsverhalten aufweisen. Bild 24 zeigt den Einfluß des Außendurchmessers D auf die Dämpfung mit Z = 60 W

Bild 24 - Einfluß des Außendurchmessers eines Koaxialkabels auf die

Dämpfungskonstante mit Z = 60 W

Grenzen der Störsicherheit

Die koaxiale Anordnung wird mit Recht als besonders störsicher angesehen, weil der Außenleiter den Innenleiter abschirmt. Jedoch sind immer noch Fälle denkbar, in denen das zu übertragende Signal nicht vollständig gegen Störungen abgeschirmt wird. Diese zumeist geringen Störeinwirkungen spielen aber dann eine große Rolle, wenn Koaxialleitungen zur Übertragung niedriger Spannungen benutzt werden sollen (Meßleitungen).

Fernmeldekabel

Fernmeldekabel bestehen aus Kupferleitern von 0,4 bis 1,5mm Durchmesser. Um die Kapazität der Kabel klein zu halten, werden die Kupferleiter zunächst mit einer feinen Papierschnur umwickelt (0,2 mm ), darüber kommt dann ein Papierband in Form eines Röhrchens. Die so isolierten Leiter werden paarweise oder, meistens, als Vierer zu einer Grundeinheit verseilt. Wie in Kapitel "Leitungstypen-Freileitungen" beschrieben, unterscheidet man dabei Sternverseilung und DM-Verseilung. Die Paare oder Vierer werden auf verschiedene Weise gebündelt, woraus die sogenannte Kabelseele entsteht. Bild 25a zeigt, wie Sternvierer in konzentrischen Lagen zur Kabelseele verseilt werden. In einem Beispiel sind dies 600 Vierer, d.h. diese Kabelseele besteht aus 2400 Leitern. Manchmal werden Sternvierer zu Bündeln und erst diese Bündel zu Kabelseelen verseilt (Bilder 25b und 25c). Bild 26 links gibt den kompletten Aufbau eines Fernsprechkabels an. Das Bild 26 rechts zeigt ein ausgeführtes Fernmeldekabel.

Bild 25 - Aufbau von Kabelseelen aus Sternvierern; a) konzentrische Lagen, b) und c) gebündelte Sternvierer

Bild 26 - Links : Aufbau eines Fernsprechkabels mit Kabelseele in konzentrischer Lagenverseilung

Rechts : ausgeführtes Fernmeldekabel