Impulskenngrößen

Impuls

Nach DIN 5488 versteht man unter einem elektrischen Impuls einen Vorgang mit beliebigen zeitlichen Verlauf einer physikalischen Größe, deren Augenblickswert innerhalb einer begrenzten Zeitspanne Werte aufweist, die von null verschieden sind. Anhand von Einzelimpulsen werden folgende Kenngrößen eingeführt

Impulsdauer

Bei einem idealen Rechteckimpuls ist die Impulsdauer t_i gleich der Zeit von positiver zu negativer Flanke (siehe Abb.1.1.a). Bei einem verformten Impuls hingegen muß eine besondere Festlegung getroffen werden. In diesem Fall ist die Impulsdauer t_i, unabhängig von Übergangszeiten der ansteigenden und abfallenden Flanke, als Zeit vom Beginn der ansteigenden Flanke (10% des Endwertes) bis zum Beginn der abfallenden Flanke (90% des Endwertes) festgelegt (siehe Abb.1.1.b). Nach dieser Definition ist die Impulsdauer solange von den Übergangszeiten unabhängig, wie die Übergangszeit für die ansteigende Flanke kleiner oder höchstens gleich t_i ist.

Anstiegszeit

Die Zeit, die die ansteigende Flanke eines Impulses benötigt, um von 10% auf 90% des Endwertes anzusteigen, ist die Anstiegszeit t_r oder rise-time (siehe Abb.1.1.b). Die 10%- und 90% - Werte werden gewählt, weil die Übergänge zwischen Impulssohle IS bzw. dem Impulsdach ID und der Flanke abgerundet sind. Bei den 10%- und 90% - Punkten erhält man definierte Schnittpunkte, während sich bei 0% und 100% des Endwertes die Schnittpunkte nicht genau bestimmen lassen.

Abfallzeit

Die Zeit, die die abfallende Flanke eines Impulses benötigt, um von 90% auf 10% des Endwertes abzufallen, ist die Abfallzeit t_f (fall-time) (Abb.1.1.b).

Ausgleichszeit

Die Tangente im Wendepunkt an die Impulsflanke legt die Ausgleichszeit t_g durch die Schnittpunkte mit der Impulssohle und dem Impulsdach fest.

Impulsfolge

Unter einer Impulsfolge versteht man einen unendlich lang andauernden, periodischen Vorgang, der aus einer Folge von gleichen Impulsen besteht. Die Periodizität der Einzelimpulse innerhalb der Impulsfolge wird mit der Periodendauer T₀ als Impulsabstand und n als beliebige ganze Zahl durch f(t) = f(t+nT₀) beschrieben. Die Kenngrößen einer Impulsfolge sind aus Abb.1.2 ersichtlich.

Impulsdauer, Impulspause, Periodendauer

Man erkennt, daß die Impulsdauer t_i und die Impulspause t_p in Summe die Periodendauer T₀ ergibt.

Impulsfolgefrequenz

Die Impulsfolgefrequenz f₀ einer periodischen Impulsfolge ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer T₀.

Tastgrad

Der Tastgrad g ist definiert als das Verhältnis von t_i zu T₀. g = t_i/T₀

Elementare Impulsfunktionen

Sprungfunktion

Die Sprungfunktion s(t) ist definiert als

mit der Stufenhöhe A. Die Normierung auf A führt zur Einheitssprungfunktion s(t), die definiert ist als

Die Einheitssprungfunktion ist eine mathematische Funktion ohne physikalische Einheit. Dadurch ist offengelassen, ob der zu beschreibende Vorgang z.B. einen Strom, eine Spannung oder eine mechanische Auslenkung bedeutet. Die Funktion s(t) hat den Funktionswert null für negative Zeiten, springt zum Zeitpunkt t=0 von 0 auf 1 mit unendlich großer Flankensteilheit (Unstetigkeitsstelle) und behält diesen Wert für alle positiven Zeiten bei. Die Einheitssprungfunktion wird auch Schaltfunktion genannt, da z.B. das Schließen eines Schalters in einem offenen Gleichstromkreis ohne Energiespeicher einen Spannungssprung im geschlossenen Stromkreis von null auf den Endwert U₀ an den Verbraucherklemmen bewirkt. Der zeitliche Verlauf ist daher durch u(t) = U₀s(t) gegeben, wobei s(t) die Schließhandlung beschreibt.

Verschobene Einheitssprungfunktion

Findet ein Einheitssprung nicht zum Zeitpunkt t=0 sondern zu einem beliebigen Zeitpunkt t₀ statt, so geht die zugehörige Einheitssprungfunktion s(t) durch Verschiebung längs der Zeitachse in s(t-t₀) über. Diese um t₀ verschobene Einheitssprungfunktion hat die Werte

Rechteckimpuls aus zwei Sprungfunktionen

Die Erzeugung eines einmaligen idealen Rechteckimpulses (ohne Überschwingen und mit unendlich großer Flankensteilheit) kann durch lineare Überlagerung zweier verschobener Sprungfunktionen erklärt werden. Durch die Addition eines positiv gerichteten Sprunges zur Zeit t₀ und eines negativ gerichteten Sprunges zur Zeit t₀+t_i ein idealer Rechteckimpuls der Dauer t_i. Die Verwendung der elementaren Sprungfunktion s(t-t₀) ist nicht auf die Beschreibung einmaliger Rechteckimpulse beschränkt, sondern dient auch zur Berechnung allgemeiner rechteckförmiger Vorgänge, vor allem in der Digitaltechnik.

Stoßfunktion

Die Stoßfunktion d(t) kann aus einem idealen Rechteckimpuls abgleitet werden (Abb. 2.4). Der Rechteckimpuls habe die Amplitude U₀₁ und die Impulsdauer t_i. Verringert man nun die Impulsdauer t_i und fordert dabei, daß die Fläche U_0it_i konstant bleibt, so nimmt die Impulsamplitude U₀₁ zu, bei abnehmender Impulsdauer t_i. Die Grenzbetrachtung t_i 0 führt schließlich zu einer unendlich großen Amplitude. Damit nimmt die Stoßfunktion d(t) für t_i=0 zum Zeitpunkt t=0 den Wert an und ist für alle anderen Zeiten null. Sie kann daher definiert werden als

Eine ideale Stoßfunktion kann physikalisch nicht realisiert werden. Für experimentelle Untersuchungen beschränkt man sich auf einen Impuls endlicher Höhe und Impulsdauer. Die Impulsdauer muß dabei nur so kurz sein, daß die zugehörige Spektralfunktion den interessierenden Frequenzbereich ausreichend überdeckt.

Diracstoß, Einheitsstoß

Die auf den Wert der Impulsfläche bezogene Stoßfunktion wird Einheitsstoß oder Diracfunktion genannt. Die wird im folgenden mit d(t) bezeichnet und hat die Funktionswerte

Die Diracfunktion kann als Grenzwert beschrieben werden und stellt damit die Ableitung der Einheitssprungfunktion s(t) dar.

Verschobene Diracfunktion

Die Funktion d(t) kann ebenfalls längs der Zeitachse verschoben werden. Es gilt

Die Diracfunktion ist ein wertvolles Hilfsmittel zur Beschreibung von Abtastverfahren. Multipliziert man z.B. eine Zeitfunktion f(t) mit der verschobenen Diracfunktion d(t-t₀), so ist das Produkt der beiden f(t) d(t-t₀) zu allen Zeiten null, außer zum Zeitpunkt t₀. Die Impulsfläche des Produkts nimmt dabei den Wert der Funktion f(t₀) an der Stelle t₀, also den Abtastwert, an.

Rampenfunktion

Das Zeitintegral der Einheitssprungfunktion s(t) führt zur Rampenfunktion r(t) die auch als Keilfunktion oder Anstiegsfunktion bezeichnet wird.

Impulsfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich

Impulsfunktionen können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Wertkontinuierlich sind Impulsfunktionen, deren Funktionswerte alle Werte eines Kontinuums innerhalb eines vorgegebenen Intervalls annehmen können, wohingegen für wertdiskrete Impulsfunktionen nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte existieren. Zeitkontinuierlich sind Funktionen, deren Signalwerte innerhalb eines Intervalls alle Werte eines Kontinuums annehmen kann. Die Signalwerte von zeitdiskreten Funktionen sind nur zu bestimmten Zeitpunkten über eine Folge von Zeitintervallen definiert. Weiters unterscheidet man die Impulsfunktionen zwischen periodisch und nicht periodisch. Im folgenden werden zeitlich kontinuierliche Impulsfunktionen untersucht.

Fourierentwicklung periodischer Impulsfunktionen

Besondere Bedeutung hat die von Fourier begründete Funktionentheorie, nach der sich periodische Funktionen in unendliche trigonometrische Reihen entwickeln lassen. Wiederholt sich ein zeitkontinuierlicher Vorgang f(t) unbeschränkt mit der Periode T₀ = 1/f₀ = 2p/w₀, so gilt, daß dieser Vorgang aus einer Summe von sinus- und cosinusförmigen Teilschwingungen zusammengesetzt werden kann. Die Frequenzen dieser Teilschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f₀, wobei das Verhältnis von Teil- zu Grundschwingungsfrequenz die Ordnungszahl n der Teilschwingung darstellt. Eine Funktion ist periodisch, wenn f(t+nT₀) = f(t) gilt. Sie kann durch eine reelle Reihenentwicklung mit der Kreisfrequenz w₀ und den Fourierkoeffizienten a_n und b_n, sowie dem Gleichspannungsanteil a₀ beschrieben werden. Aus a_n gehen die geraden Funktionsanteile heraus, aus b_n die Ungeraden.

Ebenso kann die Reihe durch den komplexen Fourierkoeffizienten c_n berechnet werden, ebenso wie der neu eingeführte Fourierkoeffizient aus der Zeitfunktion f(t).

Diese Zuordnung zwischen Zeitfunktion f(t) und den Fourierkoeffizienten c_n läßt also auch aus einem vorgegebenen Linienspektrum die zugehörige Zeitfunktion berechnen. Dabei gilt T₀w₀ = 2p. Weiters gibt es noch weitere nützliche Zusammenhänge zwischen Zeit- und Frequenzbereich, die das Rechnen mit der Fourierreihe vereinfachen

Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz beschreibt die Auswirkung einer zeitlichen bzw. spektralen Verschiebung einer Funktion f bzw. eines Linienspektrums auf c_n. Es gelten für eine Verschiebung im Zeitbereich um t₀ (links) und für eine Verschiebung im Frequenzbereich um Df (rechts):

Differentiation

Eine Hilfe bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten c_n einer periodischen Funktion f(t) ist der Differentiationssatz.

Integration

Ein entsprechender Zusammenhang existiert für die Integration im Zeitbereich

Um den Zusammenhang zwischen Zeit- und Spektralbereich deutlich zu machen, zeigt Abb. 3.1 die Gegenüberstellung von Zeit- und Frequenzfunktion für eine einfache Sinusschwingung. Der Funktion f(t)=sin(w₀t) entspricht eine diskrete Linie an der Stelle w₀.

Die additive Überlagerung der berechneten Teilschwingungen als Fourier-Synthese stellt eine Näherung einer periodischen Funktion f(t) durch ein trigonometrisches Polynom dar. Diese Näherung wird um so genauer, je mehr Glieder bei der Berechnung berücksichtigt werden. Für die praktische Anwendung kann eine Fourierreihe meist schon nach wenigen Gliedern abgebrochen werden.

Reiner Wechselvorgang

Wenn positive und negative Halbwellen einer periodischen Zeitfunktion f(t) jeweils gleiche Flächen einschließen, wird der lineare Mittelwert (Gleichanteil) a₀=0.

Gerade Zeitfunktion

Gilt für eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) = f(-t), so sind alle Fourierkoeffizienten b_n=0. Es treten daher nur Cosinusglieder in der Fourierreihe auf.

Ungerade Zeitfunktion

Gilt für eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) = -f(-t), so sind alle Fourierkoeffizienten a_n=0, es treten nur Sinusglieder in der Fourierreihe auf.

Alternierende Zeitfunktion

Gilt für eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) = -f(t+T₀/2) , so liegt eine alternierende Zeitfunktion vor. Es verschwinden für alle geraden Ordnungszahlen n die Koeffizienten a_n und b_n, womit nur ungerade Fourierkoeffizienten auftreten.

Für Fourieranalysen für periodische Impulsfunktionen erweist es sich daher als Erleichterung des Rechenvorganges, das Koordinatensystem so zu wählen, daß entweder alle a_n oder alle b_n verschwinden. Als nächstes werden vier Beispiele für die Fourieranalyse von periodischen Impulsfunktionen angeführt.

Rechteckschwingung

Die Rechteckschwingung dient nun als Beispiel für die Fourierentwicklung. Es werden die einzelnen Schritte der Reihenentwicklung angeführt. In den darauffolgenden Beispielen sollen nur die Ergebnisse angeführt werden.

Die Rechteckfunktion ist definiert durch:

mit n = 0, 1, 2, .

Nun setzt man die Funktion f(t) in die Formel für c_n ein und erhält damit

Der Faktor [1-(-1)ⁿ] ist für alle geradzahligen Ordnungszahlen n = 2, 4, . null. Für alle ungeradzahligen nimmt der Klammerausdruck den Wert 2 an. Da und a_n=0 ist für alle geradzahligen Werte von n 0 ergibt sich

für n = 1, 3, 5, .

Der Gleichanteil wird demnach

Aus der Formel erhält man die reelle Fourierreihe

Nun kann die Spektralliniendarstellung gezeichnet werden, indem man die einzelnen Frequenzanteile der Fourierreihe mit den jeweiligen Beträgen über die Frequenz aufträgt.

Sägezahnschwingung

Eine Sägezahnschwingung ist definiert durch

und liefert den komplexen Fourierkoeffizienten

Man erhält die Fourierreihe

Pulsfolge

Sie ist gegeben durch die Funktion

Es ergibt sich der komplexe Fourierkoeffizient

mit si(x)=sin(x)/x und g=t_i/T₀

Da die betrachtete Pulsfolge f(t) in unserem eine gerade Funktion darstellt, fallen alle b_n weg und wir erhalten für die Fourierreihe

Das Linienspektrum wird für einen Tastgrad g von 0,25 gezeigt. Eine Diskussion des Linienspektrums in Abhängigkeit der Impulsdauer t_i und der Impulsfolgefrequenz f₀ ist an dieser Stelle sinnvoll, da grundsätzliche Zusammenhänge zwischen Impulsdauer, Impulsfolgefrequenz und Bandbreitenbedarf erkennbar werden.

Den Verlauf der Hüllkurve y_H(f) wird bestimmt, indem man vom diskreten Vielfachen der Frequenz nf₀ auf eine kontinuierliche Frequenz f übergeht. Es ergibt sich für die Hüllkurve

Für die Berechnung der Nullstellen mit der Nullstellenfrequenz f_n, muß y_H null gesetzt werden.

Die erste Nullstelle bzw. liegt demnach bei pf_n1t_i = p bzw. f_n1 = 1/t_i. Man erkennt, daß für das vorliegende Linienspektrum der Hauptanteil der Energie zwischen den beiden ersten Nullstellen f_n1 liegt. Der Bandbreitenbedarf wird also näherungsweise durch den Kehrwert 1/t_i bestimmt. Das bedeutet, daß je kleiner die Impulsdauer t_i ist, desto größer ist der Bandbreitenbedarf durch die Pulsfolge f(t) und desto weiter rücken die Nullstellen auseinander. Weiters geht eine Variation von t_i in die Amplitudenverhältnisse über den Tastgrad g ein. Eine Vergrößerung der Impulsfolgefrequenz f₀ = 1/T₀ führt zu einem Zusammenrücken benachbarter Spektrallinien und zur Verringerung der Einzelamplituden.

Fourierentwicklung nichtperiodischer Impulsfunktionen

Ebenso wie periodische Impulsfolgen lassen sich auch nichtperiodische Impulsfunktionen mit einer Überlagerung von Sinus- und Cosinusschwingungen beschreiben. Um dies zu veranschaulichen, wird zunächst von einer periodischen Pulsfolge f(t) ausgegangen. Die periodische Pulsfolge läßt sich in einen einmaligen Impuls überführen, indem man die Periodendauer T₀ gegen unendlich gehen läßt. Man erkennt, daß die einzelnen Impulse mit wachsender Periodendauer weiter auseinanderrücken. Im Grenzfall T₀ entsteht ein einmaliger Impuls, der auf die Impulsdauer t_i zeitlich begrenzt ist.

Es ist nun zu analysieren, was beim Grenzübergang T₀ mit der spektralen Darstellung geschieht. Man erkennt, daß sich der Frequenzabstand Df benachbarter Spektrallinien umgekehrt proportional zur Periodendauer T₀ verhält.

Betrachtet man den Fourierkoeffizienten bei einer bestimmten Frequenz f = nDf = nf₀ = const., so ergibt sich, daß der Wert des Integrals

konstant bleibt. Dies gilt, da im Exponenten das Produkt nf₀ nach Voraussetzung gleich bleibt. Außerdem ist für den einmaligen Impuls vorausgesetzt worden, daß die Funktion f(t) außerhalb der Impulsdauer t_i verschwindet, so daß eine Vergrößerung der Grenzen des Integrals (T₀ ) den Wert des Integrals nicht mehr verändert. Geht man damit von einem konstanten Wert des Integrals bei einer vorgegebenen Frequenz für T₀ aus, so folgt, daß das Produkt ebenfalls konstant sein muß. Daher muß der Fourierkoeffizient bei Vergrößerung von T₀ kleiner werden und dichter aufeinander folgen. Daher sind beim Grenzübergang T₀ nicht die Fourierkoeffizienten allein, sondern ihre auf die Frequenz bezogene spektrale Dichte (/Df) bzw. (T₀) zu betrachten. Als Grenzwert stellt sich ein endlicher Wert

ein. Somit an die Stelle der diskreten Linien eine kontinuierliche Spektralfunktion . Es entsteht das erste Fouriersche Integral.

Erweitert man mit dem Spektrallinienabstand Df, so erhält man

Setzt man in die obige Formel ein, so erhält man das zweite Fouriersche Integral

wobei Df durch df und die Summe durch ein Integral ersetzt wurden.

Die beiden Integrale stellen den Zusammenhang zwischen Zeitfunktion f(t) und ihrer Spektralfunktion her. Mit dem ersten Fourierschen Integral kann man eine Funktion f(t), auch wenn sie nur stückweise stetig ist, d.h. endlich viele Sprungstellen aufweist, und im Wertevorrat beschränkt ist, analytisch darstellen. Das zweite Fouriersche Integral liefert den Übergang von der Spektral- zur Zeitfunktion. Meistens wird eine Schreibweise verwendet, die sich auf die Kreisfrequenz w bezieht. Dann lauten die Transformationsgleichungen

Diese beiden Gleichungen können auch als Abbildung einer Funktion im Zeitbereich in den Frequenzbereich und umgekehrt aufgefaßt werden. Man nennt dies Fouriertransformation. Zur Kennzeichnung der Fouriertransformation wird das Symbol eingeführt, indem definiert wird

bzw. als inverse Transformation

Als hinreichende Bedingung für die Existenz des Fourierintegrals gilt, daß das Integral

einen endlichen Wert haben muß. Daher muß die Betragsfunktion im unendlichen verschwinden, andernfalls divergiert das Integral nach obiger Gleichung.

Diracfunktion

Ein Gleichanteil f(t)=1 im Zeitbereich für - t korrespondiert mir der Diracfunktion 2pd(w) im Frequenzbereich

1 2pd(w)

Dieser Gleichanteil kann z.B. eine Gleichspannung oder ein Gleichstrom sein. Die Frequenz dieses physikalischen Vorganges ist null. Die Fouriertransformation folgt dem Dualitätsprinzip: Korrespondenzen zwischen dem Zeit- und dem Frequenzbereich sind umkehrbar. So korrespondiert dual ein Gleichanteil F(w)=1, d.h. konstantes kontinuierliches Spektrum (alle Frequenzen sind enthalten), im Frequenzbereich mit einer Diracfunktion d8t) im Zeitbereich

d(t) 1

Sprungfunktion

Die Berechnung der Fouriertransformierten der Sprungfunktion F erweist sich als schwierig, da die hinreichende Bedingung für die Existenz des Fourierintegrals nicht erfüllt ist. Das Integral hat keinen endlichen Wert, da s(t) = 1 für 0 t ist. Daher wird zunächst die Signumfunktion eingeführt

Signumfunktion

In diesem Zusammenhang wird die Funktion sgn(t) betrachtet. Für die Fouriertransformierte F gilt die Korrespondenz sgn(t) 2/(jw), die durch die Rücktransformation aus dem Frequenz- in den Zeitbereich bewiesen werden kann. Die Rücktransformierte von F = 2/(jw) führt also wieder auf die Signumfunktion sgn(t), womit die Korrespondenz gilt.

Sprungfunktion

Durch Multiplikation der Signumfunktion mit 0,5 (=Halbierung der Endwerte von 1 und -1 auf 0,5 und

-0,5) und einer Addition mit 0,5 (=Verschiebung der Funktion) geht die Signumfunktion sgn(t) in die Sprungfunktion s(t) über

Die Gleichung besteht nun aus einem geraden Funktionsanteil f_R,g = 0,5 und einem ungeraden Teil f_R,u = (1/2)sgn(t), die getrennt voneinander transformiert werden können.

Damit korrespondiert die Sprungfunktion s(t) mit einem komplexen Amplitudendichtespektrum

Rechteckimpuls

Ein idealer Rechteckimpuls ist gegeben durch die Impulsfunktion

Die zugehörige Spektralfunktion ist

SI - Impuls

Es wird eine Impulsfunktion betrachtet, deren zeitlicher Verlauf durch die si - Funktion mit der Kreisfunktion w₀ = 2pf₀ gegeben als:

Dann gilt die Korrespondenz

Sie Zerlegung der Exponentialfunktion e^-jwt in Real- und Imaginärteil führt auf

Der Imaginärteil fällt weg, da der Integrand eine ungerade Funktion ist. Da der Realteil eine gerade Funktion ist, können die Integrationsrenzen aus Symmetriegünden auch anders gewählt werden

Es wird

Mit Hilfe der frequenzverschobenen Sprungfunktion kann auch geschrieben werden als

Gaußimpuls

Als Impulsfunktion f(t) wird der Gaußimpuls betrachtet. Er ist gegeben durch

Gegenüber dem Cosinusimpuls zeichnet sich der Gaußimpuls durch eine unendlich breiten Impulsfuß aus, obwohl der Funktionswert für große Werte von rasch gegen null strebt. Die Fouriertransformierte berechnet sich aus:

Die Spektralfunktion eines Gaußimpulses ist wieder eine Gaußfunktion. Zeit- und Frequenzfunktion haben also, bis auf eine Maßstabsänderung, die gleiche Form. Man nennt solche Funktion bezüglich der Fouriertransformation selbstreziprok.

Endliche Anzahl vom Impulsen

Eine endliche Anzahl von Impulsen soll entsprechend aus N gleichen Einzelimpulsen, die alle um die Zeit T zueinander verschoben sind, zusammengesetzt werden. Hinsichtlich der Einzelimpulse wird vorausgesetzt, daß sie sich nicht überlappen sollen und daß jeder Einzelimpuls zeitlich begrenzt sein soll. (d.h. endliche Impulsdauer t_i).

Bezeichnet man die Impulsfunktion des Einzelimpulses mit f₁(t) und die Gesamtimpulsfunktion, bestehend aus N gleichen Impulsen, dann ist f(t):

Mit Hilfe des Einzelimpulses ergibt sich für den i-ten Impuls, mit als Fouriertransformierte des Einzelimpulses.

Für N Impulse erhält man dann

bzw.

Die Spektralfunktion der endlichen Anzahl von Impulsen kann als Produkt aus der Spektralfunktion des Einzelimpulses und dem Faktor aufgefaßt werden, der die endliche Wiederholung der Einzelimpulse zum Ausdruck bringt. stellt eine endliche geometrische Reihe mit dem Konstanten Quotienten e^-jwT dar. Die Summe dieser geometrischen Reihe ist

Damit wird

bzw.

als Fouriertransformierte des Einzelimpulses stellt die Einhüllende von dar.

Korrespondenzen der Fouriertransformation