Freie harmonische Schwingung

Freie harmonische Schwingung

s-t-Schaubild sinusförmig ; v-t-Schaubild cosinusförmig ; a-t-Schaubild -sinusförmig .

v(t) = (t) ; a(t) = (t) = (t) . t unabh. von Amplitude ^-> f konst. .

Weiteres Beispiel :

w = 2 p f = (2 p)/T Winkelgeschw.

s(t)= ŝ sin(wt); v(t)= ŝ w cos(wt) (ŝ w =); a(t)= - ŝ w² sin(wt) (ŝ w² = â). 43577ckp49vuf1x

m* a(t) = F ~ s(t) ; F = -Ds ; -Ds = -mw²s ^-> w² = D/m ( analog f & T ) .

für harm. Schwing.

Bes. Anfangsbed.: t=0s und : s = 0m ; v =+ ^-> s(t) = ŝ sin(wt)

s = 0m ; v = ^{- -}> s(t) = ^- ŝ sin(wt) ku577c3449vuuf

s = + ŝ ; v = 0 ^-> s(t) = ŝ cos(wt)

s = ^- ŝ ; v = 0 ^-> s(t) = ^- ŝ cos(wt)

allg.: s(t) = ŝ sin(wt + Nullpunktsphasenwinkel ) wt = Phasenwinkel

Elongation s : s(a) = d * L

(d im Bogenmaß)

Rückstellkraft F _res = F₁

= sin (d) * G

A sehr klein : sin d = d

Harm. Schwing.

 

- 1 -

Harm. Schwinger

Richtgröße D = (m* g)/L

Õ w² = D/m = g/L

(entsprechend f & T)

Über Ähnlichkeit :

F= -2D(1 - L/l)s ; l² =l ₀² + s²

Õ für kl. s bleibt l fast konst.

F/s = ^-D ₀ = ^-2D(1 - L/l)

EES bei harm. Schwing.

Elongationsenergie . NN der Lageenergie so wählen , dass in Gleichgewichtslage (s=0) W _Elong = 0 J . W _Elong = ½ Ds² . Harm. Schwing. besitzt nur W _Elong & W _B .

1. s= ŝ ; v=0 : W _Elong = ½ Dŝ ² .

2. s= 0 ; v max. : W _B = ½ m² ; = ŝ w ; w² = D/m ; W _B = ½ D ŝ ² .

3. s belieb. V bzw. t zugehörig : W _B +W _Elong = ½ mv² + ½ Ds² = ½ Dŝ ² .

Gesamtenergie : W = ½ Dŝ ² = ½ m² = ½ m w² ŝ ² .

Erzwungene Schwingungen

Bei f ca. f₀ : ¼ Periode (bzw. 90° ; T/4 ; p/2) Phasenversch.

s(t) = ŝ sin(wt - p/2) . Für f >> f₀ : Phasenversch. nähert sich p :

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Mechanische Wellen

Alle Teilchen können schwingen & sind durch Kräfte gekoppelt : Schwing. pflanzt sich von Teilchen zu Teilchen fort ^-> mechanische Welle .

Querwellen (Transversalwellen) : Teilchen schwing. orthogonal zu Ausbreitungsrichtung . v mit der sie schwingen heißt Schnelle v . v mit der sich Schwing. fortpflanzt heißt Ausbreitungs-v c . Teilchen bleiben an ihrem Platz .

Längswellen (Longitudinalwellen) : Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung .

v bei Querstörungen (-wellen)

Harm. Querwellen

Wird 1. Teilchen mit f zu harm. Schwing. angeregt , so wandert Welle während T = 1/f um l = c* T weiter . l heißt Wellenlänge . : c = l / T = l*f . Teilchen führen erzw. Schwing. aus . 1. Teilchen : sin-Schwing. , dann schwingt Teilchen an Stelle x um Δt = x/c genauso . Elongation : s(x;t) = ŝ sin(w(t - x/c)) = ŝ sin(w(t - x/(l*f))) .

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Reflexion von Wellen

Festes Ende : Wellenberg als Wellental reflektiert & umgekehrt . ^-> Phasensprung von 180°.

Freies Ende : Wellenberg als Wellenberg reflektiert . ^-> kein Phasensprung .

Interferenz

2 Wellen am selben Ort : ungestörte Überlagerung : Elongationen & Schnellen addieren sich , das heißt Interferenz .

1.) Ausbreitung in gleicher Richtung , f gleich .

1. in Phase : ŝ = ŝ₁ + ŝ₂ : konstruktive Interferenz .

2. Phasenwinkel 180° (gegenphasig) : ŝ = ŝ₁ - ŝ₂ : destruktive I.

3. 0 < j < 180° : ŝ₁ + ŝ₂ > ŝ > | ŝ₁ - ŝ₂ | .

2.) Wellen begegnen sich , f gleich .

2 Wellen mit gleicher f & Amplitude: sie interferieren zu stehender Welle. (l =c* T)

Alle Teilchen schwingen in Phase , Amplitude vom Ort abh. Wellengleichung :

s(x;t) = [2ŝ sin((w* x)/c)]*sin(wt) . [ortsabh. Amplitude]*sin(wt) . Bei Reflex.

werden einfallende & reflektierte Welle zu einer stehenden Welle .

a) festes Ende : letztes Teilchen bleibt in Ruhe ^-> Bewegungsknoten . Im Abstand

(n* l)/2 weitere Knoten . Zwischen 2 Knoten : Bewegungsbauch ( bei

((2n+1)* l)/4 ) .

b) loses Ende : letztes Teilchen : Bewegungsbauch .

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Konstruktion der res. Welle bei der Reflex. am festen Ende

Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des festen Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .

Konstruktion der res. Welle bei Reflex. am freien Ende

Bsp.: Geg. Welle mit l = 20 cm , c = 0,3 m/s . Erreichen des freien Endes des Wellenträgers bei t = 10 s . Konstruktion der Welle nach 11,2 s .

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Eigenschwingungen

Eingespanntes Gummiband ( feste Enden ) . Nur bei best. Anregungs-f ( Eigen-f ) : stehende Wellen . Niedrigste Eigen-f : genau halbe Wellenlänge paßt auf Träger .

Wellenlänge : l = ½ k*l _k . Eigen-f : f _k = k* f₁ = c/l .

f₁ : Eigen-f zur Grundschwingung (/ 1. Harmonische)

f _k : Eigen-f zur (k -1). Oberschwingung (/ k. Harmonische) .

Stehende Längswellen

Analog zu stehenden Querwellen ( selbe f & Amplitude ) .

Druckbäuche befinden sich an den Stellen , an denen Bewegungsknoten sind .

Abstand 2er Druckknoten ½ l .

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Längswellen oder Longitudinalwellen

Elongationsrichtung : Ausbreitungsrichtung . Teilchen schwingen um ursprüngl. Lage in x-Richtung . Sonst analog Querwellen . s = Δ x (Auslenkung aus Ursprungslage).

Weiß : alte Lage , Schwarz : neue Lage , Pfeile : Entfernung von alter Lage :

Druckunterschiede wandern über Wellenträger . Teilchen schwingen nacheinander mit f in Längsrichtung . Fortschreitende Längswellen : Unterdruck / Überdruck an Stellen mit Elongation 0 ( bei max. Schnelle ) .

Bsp.: stehender Längswellen - Schallwellen

Korkmehl . best. f Ton bes. laut . : stehende Welle . 2 offene / geschlossene Enden : l = ½ k*l : Eigen-f . 1 offenes & 1 geschlossenes Ende : l = ¼ l*(2k -1) .

2 offene Enden :

1 offenes & 1 geschlossenes Ende :

2 geschlossene Enden :

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Dopplereffekt

1. bewegte Schallquelle , ruhender Beobachter .

v von Q kleiner Schallgeschwindigkeit c : v < c .

1. Spezialfall : v = 0 m/s : b) v > 0 m/s :

b) l = c/ f ; s = v *T = v/ f : Abstand zwischen 2 Wellenfronten verkürzt sich um s .

Beobachter vor Quelle / Beobachter hinter Quelle :

l _{v h} = l -+ v/f = c/f -+ v/f = (c -+ v)/f ; f _{v h} = c / l _{v h} = c/((c -+ v)/f) = c* f/(c -+ v)

oder f _{v h} = f/((c -+ v)/c) = f/(1 -+ v/c) .

2. Bewegter Beobachter , ruhende Quelle .

f _z = 1/T _z = (c+ v)*f/c = (1+v/c)*f . Analog B _w : f _w = (c- v)*f/c = (1-v/c)*f .

Machscher Kegel - Überschallknall

D.h. v ≥ c bewegte Quelle :

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Elektrostatik

Elektrische Feldstärke

Geo. Überlegungen : sin φ = s/L ; tan φ = F _el/G , da φ<<10° : sin φ ≈ tan φ :

F _el/G = s/L : F _el = G* s/L . F _el ~ q : F _el/q = E heißt Feldstärke { 1 N/C } .

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Elektrische Ladung

W _{A -> B} ~ q ^->U = W _AB /q ist konst. & heißt Spannung zwischen A & B {1 J/C = 1V} .

Spezialfall : Homogenes Feld

F & E konst. W _AB = F _s*s = F _el*d : U _AB = W _AB /q = F _el *d/q = E*q*d/q = E*d : E = U/d . 1.) Geladene Kugel zwischen C , d wird vergrößert : a) Quelle weg , Q bleibt konst. : mit d nimmt U prop. zu : E konst. : Kugel bleibt gleich ausgelenkt : E = F _el/q konst. b) Quelle bleibt , U konst. : Kugelausschlag geht zurück : E = U/d & E = F _el/q konst. 2.) d konst. , U variiert : U nimmt ab : E = U/d nimmt ab Ausschlag geht zurück .

Im radialen Feld einer Punktladung

I entlang einer Feldlinie (Weg längs Kraft) , II beliebiger Weg . Arbeit entlang s mit Mittelpunkt -Q : W = 0 J : Kreisbahn : F orthogonal s . I F nicht konst . II zerlegt in Strecken entlang Feldlinien & Kreisstücken : zu jeder Wegstrecke Strecken auf I mit gleichem Kraftverlauf (= E) : Überführungsarbeit wegunabh. Jedes elektrostatische Feld aus Punktladungen zsmgesetzt : F = F _res aus Punktladungen : Im elektrostatischen Feld : U = W/q zwischen 2 Punkten ist eindeutig best. (hängt nicht vom Weg ab). Wenn W ₁ > W ₂ Widerspruch zu EES : Auf I hin , auf II zurück : W = W ₁ - W ₂ : man würde Energie rausbekommen .

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Potentiale im stromdurchflossenen Leiter

AB dünner Draht : gr. Widerstand R .Energie über Stöße an Draht abgeg. Je weiter e‾ im Draht kommen , desto mehr W haben sie abgeg. Strom fließt : Potential (R) im Leiter nimmt ab : Spannungsabfall : Wieviel W gibt 1 C Ladung auf dieser Strecke an Draht ab . Spannungsabfall AX : U _AX = φ(X) = (AX)/(AB)*4V = 4V*R _AX /R _ges :

U _AX prop. zu R _AX .

lächendichte der Ladung

Coulomb-Gesetz

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Berechnung der Feldstärke in radialen Feldern

Coulomb-Gesetz

F = E*q = Q* q/(4p r² ε ₀) = k* Q* q/ r². Q = Punktladung , r = s.o. , q von Q ,

k=1/(4p ε ₀) = 9,0*10⁹ N*m²/C².

Coulombpotential

U _AB =W _AB /q : W _AB = _rA ∫^rB F(r) dr = Q q/(4p ε ₀)* _rA ∫^rB 1/ r² dr

=Q q/(4p ε ₀)*[-1/r] _rA ^rB = Q q/(4p ε ₀)*(1/r _A -1/r _B)

NN ∞ (r _B ^-> ∞) : Coulombpotential von A mit r = r _A von Punktladung Q .

φ(r) = U _A,∞ = Q/(4p ε ₀ r) : W~1/r : W>0J ; Qq>0 : Abstoßung ; W < 0J ; Qq < 0 : Anziehung .

Die Kapazität

Hom. Feld : E=U/d ; σ = Q/A = ε ₀*E : Q = ε ₀*E*A = ε ₀*U*A/d : Q~U : C = Q/U heißt Kapazität {1 C/V = 1F } : C = ε ₀*A/d . Isolator zwischen Platten : Vergrößerung C um Dielektrizitätszahl ε _r : C = ε ₀*ε _r* A/d .

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Schaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung : Reihenschaltung :

Q _i = C _i* U ; i = 1,2,3 Wegen Influenz : jede Platte

Ins. Quelle liefert Ladung : gleiche Ladung : jeder C gleich

Q = Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ geladen : U _i = Q/C _i ; i = 1,2,3

= C ₁*U + C ₂*U + C ₃*U (Spannungsabfall).

= (C ₁ + C ₂ + C ₃)*U U = U ₁ + U ₂ + U ₃

Ersatzkapazität : C = Q/U Ersatzkapazität : C = Q/U :

C _ers = Q/U = C ₁ + C ₂ +C ₃ C _ers = (1/C ₁+1/C ₂+1/C ₃)

^-1 .

Die Isolatoren im E-Feld

Erklärung ε _r :

a) C von Quelle getrennt : Isolator einschieben : U zwischen Platten sinkt . Durch felderzeugende Ladungen +Q & -Q Elektronenhüllen gegenüber Atomkernen verschoben . An Platten zugewandten Seiten entsteht Ladungsüberschuß , heißt Polarisationsladungen Q _p . Im Isolator entsteht „induziertes“ Gegenfeld : ursprüngl. E geschwächt : U= E*d zwischen Platten sinkt . (F kleiner , W _überführ kleiner).

2. Quelle angeschlossen : zusätzlicher Ladestrom fließt : neg. Ladungen von Quelle zusätzlich von Q _p angezogen . Quelle kann bei gleichem U mehr e‾ gegen gegenseitige Abstoßung auf neg. Platte transportieren . Analog pos. Platte . C nimmt mit Dielektrikum zu .

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Andere Betrachtungsweise :

Für Verschiebung von e‾ in Atomen ist W nötig :

a) von Quelle getrennt : Dielektrikum nimmt einen Teil der in E gespeicherten W auf : Feldstärke & U zwischen Platten nimmt ab .

b) an Quelle angeschlossen : Quelle liefert mehr W , da Dielektrikum auch W aufnimmt : mehr Ladung fließt auf Platten : C hat zugenommen : C = ε ₀ε _r* A/d .

Bemerkung :

Manche Dielektrika haben Atome , die selbst el. Dipole sind : ε _r bes. hoch : durch Ausrichtung der Dipole großes Gegenfeld : Überführungsarbeit kleiner , C = Q/U wird groß : man sagt Orientierungspolarisation . Ausrichtung der Dipole : entgegen thermischer Teilchenbewegung : ε _r temperaturabh.

Leiter im C :

Statt Dielektrikum Metallplatte (Dicke x) ohne Berühren : So viele Ladungen auf ihr werden influenziert , bis Leiterinnere feldfrei . C steigt (nicht wegen ε _r sondern weil durch Platte quasi 2 Cs vorhanden : Plattenabstände d ₁ & d ₂ : d ₁ + d ₂ = d - x .

C _ers = (1/C ₁ + 1/C ₂)^-1 = (d ₁/(ε ₀*A) + d ₂/(ε ₀*A)) ^-1

= ε ₀*A/(d ₁ + d ₂)

= ε ₀*A/(d - x) > ε ₀*A/d .

Andere Betrachtungsweise :

e‾ in Leitern praktisch ohne Arbeitsaufwand verschiebbar : W um e‾ von 1er Platte zur anderen zu transportieren mit Metallplatte geringer (wegen W _P,Q = E*s, s = PQ)

um W _x = E* x : Spannung U _A,B = W _A,B /q = (W _d - W _x)/q = E*(d - x) nimmt ab .

Dielektrika teilweise eingeschoben

 

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Feldenergie

W _el eines geladenen C :

Um q bei der nahezu konst. U ₁ von Platte 1 des C nach 2 zu schaffen ist W₁ = U ₁ *q nötig . W _ges ergibt sich als Fläche unter Q-U-Kurve :

W = ½ QU = ½ CU² = Q²/(2C) .

Wo ist diese Energie gespeichert

Platten von C (ohne Quelle) auseinanderziehen : Q & E konst. aber felderfüllte Raum nimmt zu : W = ½ CU² = ½ ε ₀ ε _r (E*d)² *A/d = ½ ε ₀ ε _r *A* d* E² : A*d = Volumen zwischen den Platten : W = ½ ε ₀ ε _r *V*E² : W _el steckt in V .

Def.: Energiedichte : ρ _el = W _el /V = ½ ε ₀ ε _r *E² .

Laden eines Kondensators

C über R laden : Strom I(t) fließt , nach t ist Q(t) auf C : zwischen Platten herrscht Spannung U _C (t) = Q(t)/C (Spannungsabfall an C) . Nach Halbwertzeit T _H ist Q bzw. U entsprechend größer . Über Q(t)- bzw. U(t)-Schaubild Exponentialkurven :

U _C (t) = U ₀ (1 - ½ ^t/TH) ; Q _C (t) = U ₀ *C*(1 - ½ ^t/TH) , für Ladestrom gilt :

I(t) = ()(t) = I ₀ * ½ ^t/TH.

Entladen : U _C (t) = U ₀ * ½ ^t/TH ; Q _C (t) = U ₀ *C* ½ ^t/TH , für Entladestrom gilt :

I(t) = (t) = -Q(t)*ln(2)/T_H .

Da I(t) = U(t)/R = -Q(t)*ln(2)/T_H ist T_H = -R* ln(2)*Q(t)/U(t) : T_H = ln(2)*R*C .

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e‾ - Rotor

Neg. Ionen laufen nach innen : erfahren im Magnetfeld Kraftkomponente im Uhrzeigersinn . Pos. Genauso laufen nur nach außen : Flüssigkeit rotiert im Uhrzeigersinn . (für pos. Teilchen 3-Finger-Regel mit re. Hand möglich).

Magnetische Flussdichte

Def.: Steht stromdurchflossener gerader Leiter senkrecht zu Magnetfeldlinien & erfährt mag. Kraft F so heißt B = F/(I*s) mag. Flussdichte (B Maß für Stärke des Magnetfeldes (B-Feld)) {1 T = 1 N/(A*m) } . Richtung aus (li.) 3-Finger-Regel .

Größe der Lorentzkraft

Mit oben gilt : F = I*B*s ( F = Summe der Lorentzkräfte aller in s fließenden e‾).

v = s/t , I = Q/t = N* e‾/t : I = N*e*v/s : F = s*B*N*e*v/s = N*e*v*B ( für alle e‾ in s) , Für 1 e‾ : F/N = F _L = e* v* B ( v senkrecht zu B-Feldlinien : F _L ^ v _s bzw. ^ B .

Allg. F _L = q* v* B .

Geschwindigkeit der e‾ in stromdurchflossenen Leitern :

Bsp.: Silberdraht : ρ _Ag = 10,3 g/cm³ , Atommasse : 108 u

I = N* v* e/s = N* v* e* A/V : 1 mol Ag wiegt 108 g / V = m/ρ _Ag = 10,5 cm³ / enthält 6*10²³ Atome . Jedes Metallatom gibt ca. 1 e‾ als Leitungselektron an Metall ab : 6*10²³ e‾ = N in 10,5 cm³ .

I = 1 A , Querschnittsfläche A = 1 mm² : v = I*V/(N* e* A) = 0,11 mm/s .

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Halleffekt

F _el hält F _L das Kräftegleichgewicht (E-Feld durch e‾ - Verschiebung) :

F _L = e* v* B = e* U _H /h = F _el : U _H = h* v* B .

B-Feld bei Spulen

Durch Messung : B ~ I*n/l : μ ₀ = B/(I* n/l) = B* l /(I* n) = 1,257*10^-6 T* m/A und heißt mag. Feldkonstante . Mit Permeabilitätszahl μ _r erhöht sich B :

μ ₀ = B/(μ _r *I* n/l) = B* l /(μ _r *I* n) = 1,257*10^-6 T* m/A . Nur für schlanke Spulen : l ≥ 5*Durchmesser . Also B = μ ₀ *μ _r *I* n/l .

Das Erdmagnetfeld

Spule mit Kompaß in O-W-Richtung , Spulenstrom so , dass Kompaß in N-O-Richtung : B-Feld : B = 1,257*10^-6 T* m/A * 0,16 A * 34/0,28m

= 2,4*10^-5 T ( falsch , da zu viel Eisen (^-> Felder) in der Nähe).

Geladene Teilchen in Feldern

e‾ in Braunscher Röhre beschleunigt : EES : W _el = W _B : U*q = ½ mv² :

v = √(2Ue/m) ( für U ≤ 10 kV , m = m ₀ *1/(√(1 - v²/c²))

m ₀ = Masse in Ruhe , für kleine v ist m = m ₀ .

Bewegte e‾ im (hom.) B-Feld

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Versuchsvariante : e‾ schräg zu B einschießen , Einschußwinkel φ .

v _s ^ B bewirkt F _L : realisiert F _z . v _p || B : keine F _L : in B Richtung bewegen sich die e‾ gleichförmig mit v _p = cos φ *v . Überlagerte Kreisbewegung wegen v _s .

Schraubenlinie

Ganghöhe : h = v _p *T , Umlaufdauer : T , Radius Kreisbahn : r . Ansatz : F _L = F _z . e* v _s * B = m v _s ²/r : r = m v _s /(e* B) = m* v* sin φ /(e* B) ; T = 2p r/v _s = 2p m v _s /e* B* v _s = 2p m/(e* B) : unabh. von v , r , φ . h = cos φ*v*2p m/(e* B) .

Geladene Teilchen in E-Feldern

v _x = √(2U _x *e/m) = x/t ; y-Richtung : a _y = U _y *e/(d* m) , (für 0 ≤ x ≤ l) :

v _y = a _y *t = U _y *t *e/(d* m) , y = ½ a _y *t² = e* t² *U _y /(2d*m) = y(t) .

Bahnkurve : aus oben : t = x/(√(2U _x *e/m)) ; y = (U _y *e/(2d*m))*(x²/(2U _x *e/m) = x² *U _y /(4d*U _x) = y(x) (Parabelbahn) .

Ende des Kondensators : x = l : y ₁ = l² U _y /(4d*U _x) .

Geladene Teilchen in E- & B-Feldern

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Versuch : e‾-Bahn nicht gerade : Fehler : Felder nicht ganz homogen .

Wird hinter Wienfilter B-Feld erzeugt , so wird dort nach Masse sortiert : man nennt diese Anordnung Massenspektrograph .

Weiteres Bsp.: Thomson :

Punkt gibt an : Masse / v durch Ort des Punktes , Ladung durch Richtung (o , u , li , re).

Kreisbewegung in x-y-Ebene , Parabelbahn in y-z-Ebene .

Raumladung in Vakuumdioden

2) Stromkreis geschlossen , A besitzt 3) zusätzlich weitere Quelle U _a im Kreis .

dasselbe Potential wie K : 2 E-Felder a) U _a bei A pos. : E ₂ vergrößert , E ₁

existieren : E ₁ zwischen K & abgeschwächt : mehr e‾ zu A : I _a steigt .

e‾-Wolke ; E ₂ zwischen A & U _a > best. Wert : I _a steigt nicht mehr :

e‾-Wolke . E ₂ bewirkt Strom I _a von alle freigedampften e‾ sofort abgesaugt :

A nach K . Sättigungsstromstärke (Sättigungsbereich)

b) U _a bei A neg. : Stromstärke aus 2) bis zu 0 A bei best. U _a (3V-10V : Temp. / Heizstromabh.) : schnellsten e‾ erreichen A gerade nicht mehr : hatten W _B = 3 eV :

Anlaufstrombereich .

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Fotoeffekt

Kennlinie:

Gasentladung

1. Unselbständige Gasentladung :

Gasmoleküle el. neutral .

Gasgefüllte Fotozelle :

Cs-Fotozelle gefüllt mit Edelgas (Ne) & niedriger Druck : sonst wie Vakuumfotozelle (s.o.) . Kennlinien vergleichen : unterhalb von 18 V : Raumladungs- & Sättigungsbereich gleich ; U _a > 18 V : Stromstärke I _{U a} steigt stark an -Kennlinie :

Mehr Ladungsträger vorhanden . Unterhalb U _a = U _i = 18 V wegen Fotoeffekt e‾ aus Cs- Schicht herausgelöst , im E-Feld beschleunigt & von Quelle abgesaugt .

Für U _a > U _i erhalten Foto- e‾ aus E-Feld zusätzlich W _B = e* U _a > 18 V .

W _ges der schnellsten e‾ so groß , dass sie Ne-Atome ionisieren können :

Stoßionisation : pos. Ionen & zusätzliche freie e‾ : I _a nimmt zu .

U _a groß genug : zusätzlich freie e‾ können ebenfalls Ne-Atome ionisieren : starke Stromverstärkung . Ionisierten Gasatome rekombinieren an K zu neutralen Atomen .

W für Molekülionisation heißt Ionisationsenergie / Ionisierungsenergie : Ne-Atome : W _i = 21 eV : schnellsten e‾ haben 3 eV (Fotoeffekt) : müssen noch weitere 18 eV aus E-Feld aufnehmen .

Bemerkung :

Gas nicht stark verdünnt : freie e‾ schon nach kurzer Strecke gegen Atom stoßen : noch nicht genügend W aus Feld aufgenommen : können Atome nicht ionisieren .

(mittlere) freie Weglänge ( Flugstrecke ohne Stoß gegen Molekül) der e‾ zu gering .

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Selbstständige Gasentladung

K : bis zum Schluß (alle Luft draußen) violettes Leuchten ; anfangs von roter Säule (bis diese verschwindet) durch Dunkelräume getrennt . Violettes Licht : Ionen , die Moleküle ionisieren ; rotes Licht : e‾ , die Moleküle ionisieren : Ionen haben mehr W durch größere Masse : Bei Ionisation wird e‾ des Atoms auf höhere Schale gehoben , beim zurückfallen wird W in Form von Licht frei : Ionen können e‾ um 2 Schalen höher heben : mehr W wird frei : violettes Leuchten = energiereicheres Leuchten .

Elektromagnetische Induktion

Bei Spule : U _ind um Anzahl der Wicklungen vergrößert .

Leiterschleife fällt in B-Feld

Leiterschleife wird im B-Feld gedreht

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Weiterer Versuch :

Kabelschleife im B-Feld zsmgezogen : A _s (senkrecht durchsetzte Fläche ; s. Leiterschleife) ändert sich : U _ind : U _ind ~ A^. _s (= Änderung der felddurchsetzten Fläche).

Def.: Φ = B*A _s & heißt mag. Fluss ( durch Fläche A _s) .

Induktionsgesetz ( 1. Formulierung)

Damit ist U _ind = B* d* v _s = B* d* Δs/Δt = B*ΔA _s /Δt . Da B konst. : U _ind = Δ(B*A _s)/Δt = ΔΦ/Δt . Für belieb. v _s = lim(Δs/Δt) für Δt ^-> 0s :

U _ind = B* d*(lim(Δs/Δt) für Δt ^-> 0s) = lim(ΔΦ/Δt) für Δt ^-> 0s = Φ^..

Induktionsgesetz : Ändert sich Φ durch Spule mit Windungszahl n , so wird wegen F _L die U _ind = n* Φ^. induziert .

Induktion durch Wirbelfelder ( 2. Formulierung)

Induktion ohne F _L : In gr. Spule liegt kl. Spule , so dass deren A _s ^ B (gr. Spule) . Gr. Spule fließt gleichmäßig ansteigender I : B wird gleichmäßig (linear) verändert .

Induktionsgesetz : U _ind = n* Φ^. : Ändert sich Φ (wird nach Produktregel abgeleitet : Φ = A _s *B ) durch Spule mit Windungszahl n , so wird U _ind induziert unabh. davon , ob sich A _s oder B ändert .

Wirbelfelder

W _mech = F* s (Kraft gegen F _mag) = I* B* d* s = I* B* d* t* v _s EES gilt !

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Lenzsches Gesetz

U _ind stets so gepolt , das der von ihr hervorgerufene Strom der Ursache von U _ind entgegen wirkt (Folge des EES) .

Lenzsches Gesetz bei Flussdichteänderung

a) Einschaltvorgang

b) Ausschaltvorgang

1. Stromkreis geschlossen : I steigt kurzzeitig stark an : >0 T/s ist sehr groß : Aluring fliegt weg : In ihm wird U _ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist entgegengesetzt zu B-Feld in Eisenkern : Abstoßung : Induziertes B-Feld so gerichtet , dass das anwachsende B-Feld der Spule geschwächt wird . Erklärung : s.o.

2. Beim Ausschalten : I & B nehmen stark ab : < 0 T/s ist sehr groß : Aluring wird angezogen : In ihm wird U _ind induziert : I in Ring : erzeugt B-Feld : ist gleichgerichtet zu B-Feld in Eisenkern : Anziehung : U _ind so gepolt , dass I _ind B-Feld erzeugt , dass das abnehmende B-Feld aufrecht erhalten will . Erklärung : s.o.

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Flussänderung durch Änderung der Permeabilitätszahl μ ₀

Eisenstück in stromdurchflossener Spule : B nimmt zu , Stromstärke durch Spule während des Einführens kleiner. Erklärung : Spule selbst ist auch Induktionsspule : In ihr wird U so induziert , dass I _ind der Zunahme von B entgegen wirkt : B-Feld der Spule allein wird kleiner : damit auch I : I = U/R = (U ₀ + U _ind)/R = (U ₀ - n* Φ^.)/R .

Beim Herausziehen ist Φ^.< 0 (da < 0) : U _ind pos. (bzgl. U ₀) : I steigt ;

Beim Einführen ist Φ^. > 0 (da > 0) : U _ind neg. (bzgl. U ₀) : I fällt .

Endgültige Formulierung des Induktionsgesetzes

U _ind = - n*Φ^. ( n von Induktionsspule) .

Selbstinduktion

Hinkender Strom

Selbstinduktion

Unterschied Induktion - Selbstinduktion :

Induktion : Spule induziert U _ind in anderer Spule .

Selbstinduktion : Spule induziert U _ind in sich selbst .

- 24 -

Eigeninduktivität einer schlanken Spule

U _ind = -n*Φ^.

Φ = B*A = μ ₀ μ _r *I* A* n/l : U _ind = -n* μ ₀ μ _r * *A* n/l = -L* ; L = μ ₀ μ _r *n² *A/l .

Allg.: L = -U _ind / heißt Eigeninduktivität { 1 H = 1 T* m²/A } . Abweichungen durch nicht ideal schlanke Spulen : nicht homogen .

Einschaltvorgang

Einschalten : I(t) = U(t)/R = (U ₁ + U _ind)/R = (U ₁ - L*(t))/R : (t) = -(R*I(t)-U ₁)/L =(U ₁ - R*I(t))/L ; t ₀ =0s : (0s) =(U ₁ - R*I(0s))/L =U ₁ /L : |U _ind | = L*(0s)= U ₁.

Im 1. Augenblick ist U _ind = U ₁ .

Induktivität einer belieb. Spule

Gemäß L = U ₁ /(0s) läßt sich die Induktivität aus dem Schaubild des Einschaltvorgangs (s.o.) bestimmen . (0s) ist die Steigung der Kurve I(t) zum Zeitpunkt t ₀ = 0s . Den ohmschen Widerstand erhält man aus der Asymptote der I(∞) , dort (∞)= 0 A/s. I(∞) = U ₁ /R : R = U ₁ /I(∞) .

Ausschaltvorgang

U ₁ = 0 V . : I(t) = U/R = (U ₁ + U _ind)/R = -L* /R

Energie des Magnetfeldes

P = U(t)*I(t) = U _ind (t)*I(t) = -L* (t)*I(t). Bei kl. Zeitraum dt wird dW = P(t)*dt umgewandelt : W = ₀∫^∞ P(t) dt = ₀∫^∞ I(t)* (t) dt [Substitution] = -L _{I 1}∫⁰ I dI

= -L [½ I²]_{I 1} ⁰ = ½ L*I ₁ ²

I ₁ = U ₁ /R ist ursprüngl. Stromstärke vor Ausschalten .

- 25 -

Wechselspannung / -strom

Rotierende Spule (s. Leiterschleife) in B-Feld : U _ind = -n*Φ^. ; Φ(t) = B*A _s (t)

= B* A* cos(wt) = B* A* cos(α(t)) (α = wt heißt Phasenwinkel) :

U _ind = (-)n* B* A* w*(-)sin(t) = n* B* A* w* sin(wt) = Û sin(wt) .

Zeigerdiagramm

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Versuch :

Wenn f der Wechselspannung U _~ genügend hoch : Lämpchen leuchtet konst. hell . Dafür Scheitelwert von Û _~ = 15 V nötig . Bei Gleichspannung benötigt gleich hell leuchtendes Lämpchen Gleichspannung U ₌ = 10 V .

Def. : Der Effektivwert einer U _~ gibt diejenige U ₌ an , die nötig ist , um beim selben R die gleiche mittlere Leistung hervorzubringen : U _eff , analog : I _eff .

Effektivwerte sin-förmiger Wechselspannungen

Bei R = U/I : Momentanleistung : P(t) = U(t)*I(t) = U²(t)*1/R = I²(t)*R , mit

U(t) = Û sin(wt) : P(t) = Û ² sin ²(wt)*1/R = ½ (1 - cos(2wt))*Û ²/R .

Um Pzu erhalten : P = ΔW/Δt : ΔW = _0s∫^{t 1} P(t) dt

= (t ₁ - (1/(2w)) sin(2wt ₁))*Û ²/(2R) ;

Δt = t ₁ - 0s : P = Û ²/(2R) - Û ² sin(2wt ₁) / (4w*R*t ₁) ;

t ₁ ^-> ∞ : P = Û ²/(2R) = U² _eff /R (s.o.) : U _eff = Û / √2 .

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Spule im Wechselstromkreis

^-> (resultierender) Strom I(t) hinkt der angelegten U hinterher .

Herleitung der Stromstärke im L-Kreis

I in Spule : I(t) =(U ₁ (t)+ U _ind (t))/R =(U ₁ (t) - L* (t))/R : R*I(t)= U ₁ (t) - L* (t) . Annahme : R = 0 Ω : L*(t) = U ₁ (t) bzw. (t) = U ₁ (t)/L : I(t) = ∫(t)dt = ∫U ₁ (t)/L dt = Û/L ∫ sin(wt) dt = - cos (wt)*Û/(L* w) + c ( c = Gleich-/ Grundstrom) .

Erg.: I(t) ~ -cos(wt) = sin(wt - 90°) : I hinkt angelegtem U um 90° hinterher (bei R = 0 Ω) . Bem.: c ist immer 0 A sobald R nicht exakt 0 Ω .

Def.: induktiver Blindwiderstand X _L = Û/ î = Û/(Û/w* L) = w* L .

Blind- und Wirkwiderstand zugleich : L-R-Kreis

X _L & R in Reihe geschaltete Widerstände : I(t) ist überall gleich . Spannungsabfall am R : U _R (t) = R*I(t) ; Spannungsabfall am X _L : U _L (t) = X _L*I(t) . U _R ist in Phase mit I(t) ; U _L eilt I(t) um 90° voraus .

Zeigerdiagramm :

Beim Drehen : Û erreicht vor î Max. : hinterherhinken bedeutet : die entsprechende Kurve liegt weiter re. (wenn U _R groß : U _L klein) .

Û ² = Û ² _L + Û ² _R = R²I² + (w* L)² I² : Û = î *√(R² + (w* L)²) Gesamt- / Scheinwiderstand : Z = √(R² + X _L²)

φ zwischen angelegtem U & I : tanφ = Û _L /Û _R = X _L /R = w* L/R .

Ist U(t) = Û sin(wt) so fließt I(t) = î sin(wt - φ) .

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Kondensator im Wechselstromkreis

Stromstärke im C-Kreis

Gesamtspannung : U(t) = U ₁ (t) + U _C (t) = I(t)*R ; mit R = 0 Ω & U _C (t) = -Q(t)/C :

Q(t)/C = U ₁ (t) : I(t) = (t) = C*U^.₁ (t) ; mit U ₁ (t) = Û sin(wt) :

I(t) = C*Û *w* cos(wt) . Def.: Kapazitive Widerstand X _C = Û/ î

= Û/(C*Û *w) = 1/(w* C) . Bem.1.: bei sin-förmigen U _~ : I _eff = î /√2 ,

analog U _eff : X _C = U _eff /I _eff = 1/(w* C) . 2.: X _C ist Blindwiderstand : keine W _el in innere W umgewandelt .

Der R-C-Kreis

Scheinwiderstand Z = √(R² + X _C ²) = Û ₁ / î ;

tan φ = Û _C /Û _R = X _C /R = 1/(w* C* R) (φ hier neg.) . Û _C hinkt I(t) um 90° hinterher

Der R-C-L-Kreis

Z = Û/ î = √(R² + (X _L - X _C)²) = √(R² + (w* L - 1/(w*C))².

Resonanz

Bei best. f ₀ (bzw. w ₀) : I(t) wird max. : Resonanz(-f) :

Bedingungen(äquivalent zueinander : wenn 1 vorliegt , liegen auch die anderen vor) : I max. ; φ = 0 ; Z min. , d.h. Z = R ; Û _R = Û ; Û _L = Û _C ; Û _L & Û _C max. ;

X _L = X _C : w ₀ *L = 1/(w ₀ *C) : w ₀ = √(1/(L*C)) : f ₀ = √(1/(L*C))*1/(2p) .

- 28 -

Leistung im Wechselstromkreis

X _{L , C} : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (-) î cos(wt)

R : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = î sin(wt)

P(t) = U(t)*I(t) : Momentanleistung

1. R : P(t) = I²(t)*R ≥ 0 W

2. X _C : P(t) = - Û sin(wt)* î cos(wt) : Laden : P(t) > 0 W ; Entladen : P(t) < 0 W : C liefert W an die Quelle : In 1 Periode ist Gesamtleistung = 0 W .

3. X _L : Analog zu b) (ohne - ; W _el wird W _mag wird W _el ...) .

Def.: 1.) mittlere Leistung P‾ heißt Wirkleistung (W der Quelle pro Sekunde) .

2.) ohne R : P‾ = 0 W ; der dabei fließende Strom ist ein Blindstrom .

Wirkleistung bei einer Siebkette R-C-L-Glied

U(t) = Û sin(wt) = Û sin(α) ; I(t) = î sin(wt - φ) = î sin(β) ; P(t) = Û * î sin(wt)sin(wt - φ) (P(t) über Zeit integrieren liefert W)

Einschub : sin α *sin β = ½ (cos(α - β) - cos(α + β))

Ferner gilt : Û * î = √(2) *U _eff *√(2) *I _eff = 2*U _eff *I _eff :

P(t) = 2*U _eff *I _eff *½(cos φ - cos(2wt - φ)) = U _eff *I _eff *cos φ .

cos(2wt - φ) hebt sich über 1 Periode gemittelt auf , cos φ heißt Leistungsfaktor .

Zeigerdiagramm :

Transformatoren

Unbelasteter Trafo: Belasteter Trafo :

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Der ideale Trafo

Def.: idealer Trafo : R der Primärspule (PS) = 0 Ω , von PS erzeigte Fluss Φ durchsetzt Sekundärspule (SS) vollständig (gut geschlossene Eisenkerne) .

Der unbelastete Trafo

Primärseite : Sekundärseite :

R ₁ = 0 Ω : I _Prim = Blindstrom , U ₁ Induktionsgesetz : Durch Flussänderung

& I _Prim sind 90° phasenverschoben . Φ^. : wird in SS U ₂ (t) = -n ₂ *Φ^.(t)

Verbraucht im Leerlauf keine W . induziert . Da Trafo unbelastet : fließt

X _L sehr gr. : I _Prim sehr kl. kein Strom im Sekundärkreis : Fluß Φ

Durch Selbstinduktion : wird nicht verändert .

U _ind (t) = -n ₁*Φ^.(t) = - U ₁(t) .

Gleichsetzen der Flussänderung :

U ₂ (t)/U ₁(t) = -n ₂ /n ₁ = - ü , für Effektivwerte : U _{2 , eff} /U _{1, eff} = n ₂ /n ₁ = ü

Der belastete Trafo

An SS Wirkwiderstand R legen : Wirkstrom I ₂ = U ₂ /R : entnommenes P‾ stammt von PS (EES) : dort zusätzlich zum Blindstrom I _{1, blind} (mit Φ = 90°) ein Wirkstrom I ₁ (mit Φ = 0°) : P‾ = I _{2 , eff} *U _{2 , eff} = I _{1, eff} *U _{1, eff} :

I _{2 , eff} /I _{1, eff} = U _{1, eff} /U _{2 , eff} = n ₁/n ₂ = 1/ü .

Bem.: Wegen I _{1, blind} ist I _{1, ges} > ü* I ₂ (Bei guten Trafos : I _{1, blind} ≈ 0A , da X _L groß ; bei realen Trafos , wegen

R _Prim ≠ 0 Ω , noch sehr kl. Wirkstrom in PS : verfälscht obere Gleichung) .

Erg.: Spannungen : U _{2 , eff} /U _{1, eff} = n ₂ /n ₁ = ü (U ₂ richtet sich nach U ₁) ;

Wirkströme : I _{2 , eff} /I _{1, eff} = n ₁ /n ₂ = 1/ü (I ₁ richtet sich nach I ₂)

Anwendungen : n ₂ <<n ₁ , sehr kl. R _Sek : sehr hoher I ₂ : Schweißtrafo ;

n ₂ >>n ₁ : U ₂ >>U ₁ : Hochspannungstrafo (U ₂ wegen auftretender Leistung lebensgefährlich) .

Bei Eisenkernen aus einem Stück : Vergrößerung I ₁ : es treten Wirbelströme auf , die Energie aufnehmen : Trafokerne aus Eisenplättchen aufgebaut , die gegeneinander isoliert sind .

Andere Erklärung : a) unbelasteter Trafo : U ₁ (t) = Û ₁ sin(wt) :

PS : I ₁ (t) = î _{1, blind} cos(wt) (Blindstrom) : verursacht Fluss :

SS : U ₂ (t) = - Û ₂ sin(wt) , I ₂ = 0 A .

b) belasteter Trafo : SS + R : SS : U ₂ (t) = - Û ₂ sin(wt) , I _{2 , w} (t) = -î _{2 , w} sin(wt) (Wirkstrom) : zusätzlicher Fluss : U _{1, ind} (t) = -Û _ind cos(wt) :

I _{1, w} (t) = î _{1, w} sin(wt) .

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Zeigerdiagramm der PS :

Transport elektrischer Energie

Überlandleitungen sind Hochspannungen :

Reihenschaltung von Lampe (R = 100 Ω) & R = 1 kΩ (R der Leitungen) : An Leitungen fällt daher Großteil (90%) der Spannung ab : 90% der el. W bzw. Leistung in Leitungen verbraten : W / P , die an Lampe abfällt reicht nicht mehr um sie zum Brennen zu bringen .

Energietransport mit Hochspannungs- Hochstromtrafos :

Þ Lampe brennt

Erklärung : P _Lampe = 0,16 W entnommen aus Trafos , über Leitungen transportiert. Dort auf U = 120 V hochtransformiert : nur Stromstärke von I = P/U = 0,0013 A nötig .

Dieses I bewirkt , dass in Zuleitungen nur geringe Spannung abfällt :

P _Leitung = R*I² = 0,0018 W wird in Leitungen verbraten , ca. 1% der Leistung (s.o.).

Bem.: P = U*I = R*I² = U²/R , obige Daten einsetzen : P = 19,6 W falsch :

Schaltung besteht aus R und X _L der Trafos : R = U/I gilt nicht , ist vielmehr Reihenschaltung : dort für Spannungsabfall an Widerständen : U = R*I .

Differentialgleichungen

Bsp.: Harmonische mechanische Schwingung

Lin. Kraftgesetz : F = -D*s (allg.: F _res = F = m*a)

Beschleunigung : a(t) = F(t)/m = -s(t)*D/m , mit a = & v = : a = :

s(t) = -s(t)*D/m = -k*s(t) , k = D/m (DGL einer Funktion) .

Lsg. der DGL :

Lsg.ansatz raten : s(t) = ŝ sin(wt + φ) : (t) = ŝ* w* cos(wt + φ) : (t) =

-ŝ *w² sin(wt + φ) = -w² * s(t) ; Vergleich mit DGL : w = √ k = √(D/m) : Für harm. Schwinger mit Richtgröße D & Masse m gibt es also ∞-viele

Lsgfunktionen (ŝ , φ unbestimmt) : Bei konkreten Schwing. Anfangsbed. (s(0s) ; v(0s)) bekannt können ŝ & φ bestimmt werden .

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Bsp. ungedämpftes Pendel

3.) Anfangsbed. : (t) = -w² *s(t) ; w = √(g/L) = 3,13 1/s , ŝ = 5 cm ,

s(0s) = 3 cm : s(0s) = 3 cm = 5 cm*sin(3,13*0s + φ ₀) : sin(φ ₀) = 0,6 : φ ₀ = 36,9°

Lsgfunktion : s(t) = 5 cm * sin(3,13 Hz * t + 0,64) : Winkel im Bogenmaß , da 3,13 Hz auch im „Rad“ .

Elektromagnetische Schwingungen

In diesem Schwingkreis wird W _el (t) = ½ CU²(t) in W _mag (t) = ½ L*I²(t) umgewandelt &

umgekehrt . I(t) & U(t) haben Phasenwinkel von 90°. In R wird Teil der W in innere W umgewandelt : Schwingung gedämpft .

DGL der ungedämpften el.mag. Schwingung (R = 0 Ω)

Selbstinduktionsspannung : U _L (t) = -L* (t) = U _C (t) = Q(t)/C : -L*(t) = Q(t)/C

mit I(t) = (t) : -L*(t) = Q(t)*1/C : (t) = -Q(t)*1/(L*C) DGL .

Thomsonsche Schwingungsgleichung

T = 2p Ö(L*C) . Standard Anfangsbed.: t ₀ = 0s : C max. geladen :

Q _C (t ₀) = , Q _C (t ₀) = sin(wt ₀ + φ ₀) = : sin φ ₀ = 1 : φ ₀ = p/2 . Erg.: Q(t) = cos(wt) = sin(wt + p/2) Ladung auf C ;

U(t) = Q(t)/C = cos(wt)* /C = Û cos(wt) Spannung am C ;

I(t) =(t) = - *w* sin (wt); î = *w = Û *C/√(L*C) = Û *√(C/L) .

 

 

 

 

 

 

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Energiebetrachtung im ungedämpften Schwingkreis

Q(t)= sin(wt + φ ₀) ; U(t)= sin(wt + φ ₀)* /C ; I(t)= *w* cos(wt + φ ₀) (s.o.).

Gesamtenergie : W(t) = W _el + W _mag = ½ CU²(t) + ½ L*I²(t)

= ½ C(/C)² sin ²(wt + φ ₀) + ½ L² w² cos ²(wt + φ ₀)

= ½ ²/(C)*sin ²(wt + φ ₀) + ½ L² 1/(L*C)*cos ²(wt + φ ₀)

= ½ ²/(C)*(sin ²( wt + φ ₀) + cos ²(wt + φ ₀)) = ½ ²/C = ½ C Û² = ½ L î ² .

Der gedämpfte Schwingkreis

Um gedämpften Schwingkreis aufrechtzuerhalten muß zu geeigneten Zeitpunkten W eingespeist werden .

. Manuell

2. Transistor- / Meißnerschaltung

Funktion des Transistors :

Arbeitspunkt :

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Erzwungene Schwingungen

Beob.: Resonanz tritt auf (analog zu mech. Schwing.) : Amplitude von Û _C ist bei f ₀ max. Für Phasenwinkel zwischen anregender Schwing. (Spannung am Frequenzgenerator) & erzw. Schwing. (U _C) gilt :

Hochfrequente Schwingungen

Anwendungen

Hochfrequenzherd-Mikrowellenherd ; Hochfrequenz-Induktionsofen zum Schmelzen von Metallen ; Radio ; Fernsehen , ... .

Nachweis hochfrequenter Schwingungen

1. Oszilloskop (bis zu wenigen MHz)

2. Frequenzzähler (ca. 1 MHz)

3. Mit einer durch ein Lämpchen kurzgeschlossenen Spule

4. Mit