Transformationen und Raum-Zeit-Diagramme

Transformationen dienen der Berechnung bzw. Umrechnung, von bewegten und unbewegten Bezugssystemen aus beobachteten, Positionen und Zeiten.

Die Galilei-Transformation:

Die Galilei-Transformation findet ihre Anwendung in der klassischen Physik. Daher setzt diese Transformation eine absolute Zeit voraus.

Betrachtet man ein ruhendes Inertialsystem S, an dem sich ein anderes Inertialsystem S' mit der Geschwindigkeit v vorbeibewegt und die x-Achsen beider Systeme zusammenfallen so ergeben sich folgende Gleichungen:

t = t' (Annahme einer absoluten Zeit)

y = y' (Bewegung nur entlang der x-Achse)

z = z'(Bewegung nur entlang der x-Achse)

x = x' + vt' (Ersichtlich aus Zeichnung)

x' = x - vt   (Ersichtlich aus Zeichnung)

Die Annahme einer absoluten Zeit hat sich allerdings als falsch erwiesen. Dies läßt sich bei Betrachtung eines Lichtstrahls rechnerisch zeigen.

Für einen Lichtstrahl, der sich entlang der x-Achse bewegt gilt: (s = v * t) x = c * t T Einsetzen in die Galilei-Transformation T

x' = x - vt

x' = ct - vt

x' = (c - v)t = (c - v)t'

Das Licht bewegt sich in S' nur mit c - v, was einen Widerspruch zum Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit darstellt, die besagt, daß die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Bewegung des Beobachtetes ist.

Raum-Zeit-Diagramme:

Raum-Zeit-Diagramme dienen der anschaulichen Beschreibung von Bewegungsabläufen. Die Linie im Graphen, anhand derer man die Position des sich bewegenden Gegenstandes zu jeder Zeit feststellen kann, nennt man Weltlinie.

Eine wie in der Zeichnung nach unten gekrümmte Weltlinie ist nicht möglich, da der Körper dann zweimal an verschiedenen Orten existieren würde.

Die Lorentz -Transformation:

Die Lorentz-Transformation funktioniert gemäß der Relativitätstheorie. Das bedeutet, daß sie die Galilei-Transformation so korrigiert, daß die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit berücksichtigt wird.

Bewegt sich das System S' gleichförmig mit der Geschwindigkeit v relativ zu S, so bewegt sich andererseits S relativ zu S' mit der Geschwindigkeit -v. Man erhält daher die Umkehrfunktion, indem man v durch -v und die alten durch die neuen (') Koordinaten ersetzt.

Es gelten:

y = y'

z = z'

Beim Grenzfall v 0 wird (1-v²/c²) = 1 und (v²/c²)x kann vernachlässigt werden.

Bei v < c (Alltag) gibt die Galilei-Transformation das Ergebnis relativ gut wieder.

Bei v = c sind die Abweichungen aber bedeutend.

Bei v > c wird die Lorentz-Transformation sinnlos imaginäre Zahlen T kein Körper kann sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Addition von Geschwindigkeiten:

Bei der Umrechnung der Geschwindigkeit eines Teilchens in ein anderes Bezugssystem darf man die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme nicht einfach zur Geschwindigkeit des Teilchens addieren.

Bewegt sich ein Körper im System S' mit u' in x'-Richtung, so hat er im System S die Geschwindigkeit:

u = (u' + v)/(1 + (u'v)/c²)  Wobei v die Geschwindigkeit von S' relativ zu S ist. Hierbei wird die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten.

Minkowski-Diagramme:

Minkowski-Diagramme dienen der Darstellung von Weltlinien, so daß gleichzeitig die Koordinaten für ruhende als auch für das bewegte System abgelesen werden können. Als Maßeinheiten für den Weg dienen hierbei Lichtsekunden (300 000 km).

Konstruktion der Achsen:

Um die Achsen des S' Systems einzuzeichnen kann man sich einer Regel bedienen. Man sucht zwei Ereignisse, die in S' bei t' = 0 gleichzeitig sind, da diese beide auf x' liegen. Nimmt man als Beispiel eine Rakete, so läßt man einen Lichtstrahl vom Ende der Rakete (liegt bei t' = 0 und x' = 0) zur Mitte der Rakete (in einem Winkel von 45° T Lichtlinie) laufen. Hierauf zieht man in einem Winkel von 90° eine Verbindungslinie, die die Weltlinie der Spitze der Rakete schneidet. Der Schnittpunkt ist der zweite Punkt auf x', da das Licht vom Ende der Rakete bis zur Mitte gleich lang braucht als von der Spitze bis zur Mitte und die beiden Ereignisse somit gleichzeitig sind.

Allgemein läßt sich sagen, daß x- und x'-Achse den gleichen Winkel a einschließen wie die t- und t'-Achse. Für a gilt tan a = v/c. Das bedeutet, daß sich die Steigung der Achsen mit der Geschwindigkeit ändert.

Diese Diagramme erfüllen das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, da die Lichtstrahlen in beiden Systemen die Winkel halbieren und damit beide gleich schnell sind.

Bestimmung der Einheitspunkte auf den Achsen:

Um die Einheitspunkte der x'-Achse zu bestimmen setzt man in die Punkte x' = 1 und t' = 0 ein.

Um die Einheitspunkte der t'-Achse zu bestimmen setzt man in die Punkte x' = 0 und t' = 1 ein.

Man erhält:

Lorentzkontraktion:

Die Länge des Maßstabes in S ist im Gegensatz zu S' (l = 1) also nur (1-v²/c²). Aus der Sicht eines ruhenden Beobachters scheint ein relativ zu ihm bewegter Gegenstand in seiner Bewegungsrichtung um (1-v²/c²) verkürzt. Im Ruhsystem hat der Gegenstand nach wie vor dieselbe Länge. Quer zur Bewegungsrichtung tritt keine Längenänderung auf.

Der Gegenstand scheint umso kontrahierter, je schneller er ist. Für v = c ist seine Länge null. Für v > c wird die Wurzel imaginär T kein Körper kann sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen.

Zeitdilatation:

Durch einsetzen in die Lorentz-Transformation ergibt sich:

Im bewegten System vergeht die Zeit umso langsamer, je schneller es sich bewegt.

Aus der Sicht des ruhenden Beobachters gehen bewegte Uhren um den Faktor (1-v²/c²) langsamer als ruhende Uhren.