Spezielle Relativitätstheorie

Einleitung

Die unglaublichen Auswirkungen relativistischer Geschwindigkeiten sind uns durch die Einsichten Albert Einsteins bekannt geworden. Der 1879 in Ulm geborene Einstein wartete bereits 1905 mit einer Reihe genialer Ideen auf, die den damaligen physikalischen Wissensstand revolutionieren sollten. Wenn man doch verstehen will, wie die Grundbegriffe der heutigen Physik entstanden sind, so müssen wir jedoch weiter in die Geschichte zurückgehen.

Weltäther

In den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts sah man im Ather, der den gesamten Raum erfüllen sollte, eines der wichtigsten Konzepte der Physik. Man versuchte die Bewegung der Erde durch den  absoluten Raum experimentell zu bestimmen. Da sich die der Erde mit einer Geschwindigkeit von 30km/s um die Sonne bewegt, konnte man ja wohl auch annehmen, dass sich die Erde auch gegenüber dem Ather nicht in Ruhe befindet. Es wurden viele Experimente erdacht, um die Bewegung der Erde im absoluten Raum zu messen. Man ging zunächst von der Vorstellung aus, dass elektrische und magnetische Kräfte durch Spannungen im Ather übertragen werden. Eine Bewegung der Erde im Ather sollte somit zu messbaren Veränderungen elektrischer und magnetischer Felder führen. Beispielsweise erwartete man, dass sich die Platten eines elektrisch geladenen Kondensators stets senkrecht zur Richtung der Erdbewegung durch den Ather einstellen, falls der Kondensator frei drehbar aufgehängt werden würde. Entsprechende Experimente konnten keine Drehung der Kondensatoren feststellen. Es wurden noch zahlreiche andere Experimente durchgeführt, die die Bewegung der Erde im Ather feststellen sollten, alle diese Experimente ergaben negative Ergebnisse. Jedes dieser Experimente konnte man jedoch schließlich erklären. Man änderte einfach die Eigenschaften des Athers so lange ab, bis man für den Versuch keinen Effekt mehr erwarten durfte.

Schließlich glaubte der Amerikanische Physiker Albert Michelson ein Experiment gefunden zu haben, dass allen Einwänden standhielt.

Die Grundidee:

Licht ist eine Welle, die sich im Ather mit c=300.000km/s ausbreitet. Bewegt sich die Erde mit der Geschwindigkeit v durch den Ather, so sollte das Licht in einer Richtung der Erdbewegung entgegeneilen, während es in der Gegenrichtung mit der Erde mitläuft. Die auf der Erde gemessene Lichtgeschwindigkeit beträgt daher c+v bzw. c-v.

Diese Unterschiede in der Lichtgeschwindigkeit wollte Michelson zur Bestimmung der Erdbewegung folgendermaßen ausnützen. Das Prinzip des Experiments von Michelson ist folgendes:

Der von der Lichtquelle austretende Lichtstrahl wird durch einen Halbdurchlässigen Spiegel in zwei aufeinander senkrecht stehende Strahlen zerlegt. Diese werden an zwei Spiegeln reflektiert und dann wieder vereinigt. Durch Ausnutzung der Interferenzeffekten können so kleinste Unterschiede in den Ausbreitungsgeschwindigkeiten der beiden Lichtstrahlen untersucht werden. Durch drehen des Apparats um 90° sollten sich Anderungen im Interferenzmuster ergeben. Das Experiment erwies sich jedoch als Fehlschlag. Dies ließ nur den einzigen Schluss zu, dass sich Licht in alle Richtungen gleich schnell ausbreitet.

Einstein vermutete also durch das Scheitern dieser Versuche, die Bewegung der Erde im Ather zu messen, ein allgemeines Naturprinzip.   

Gibt es keinen absoluten Raum, so müssen sich alle Bezugssysteme, sogenannte Inertialsysteme, gleichermaßen zum Aufbau der Physik eignen.

Bezugssysteme in denen das Trägheitsgesetz gilt, heißen Inertialsysteme.

Einstein formulierte daher:

Eine der bedeutendsten Veränderungen, die die Relativitätstheorie mit sich brachte, betreffen den Zeitbegriff. Das Ziel der Physik ist es, Zeit messbar zu machen. Dazu benötigt man Uhren. Eine einfache Form von Uhren war bereits vor 6.000 Jahren in Gebrauch, sogenannte Sonnenuhren. Im Mittelalter gab es bereits mechanische Uhren mit einem Fehler von 1 Stunde pro Tag. Erst als Galileo Galilei um 1600 die Eigenschaft des Pendels entdeckte, wurde die Konstruktion von Präzisionsuhren möglich. Die eine Genauigkeit von einigen Sekunden pro Tag aufweisen. Für die Seefahrt waren all diese Uhren aber noch viel zu ungenau.

Erst im Jahre 1761 erreichte eine Seeuhr auf einer Probefahrt eine Genauigkeit von 5 Sekunden Abweichung pro Jahr. Ein entscheidender Durchbruch wurde erst wieder im 20. Jahrhundert erzielt. Um 1930 entstanden die ersten Quarzuhren. Bei denen die Schwingungen eines Quarzkristalls den Taktgeber der Uhr bildeten. Quarzuhren erreichen eine Genauigkeit von Bruchteilen einer Sekunde im Jahr. Noch höhere Genauigkeit erreichten Atomuhren, ihr Gangfehler ist 10.000-mal kleiner als der von Quarzuhren. Wegen der großen Genauigkeit der Atomuhren zieht man sie heute zur Definition der Zeiteinheit heran.

ZEITDILLATATION

Laut Albert Einstein sollen bewegte Uhren langsamer gehen als ruhende Uhren. Dies wollen wir an folgendem Beispiel demonstrieren:

Die beiden Uhren A und B ruhen relativ zueinander und sind synchronisiert. Die Uhr C bewegt sich mit der Geschwindigkeit v= c an A und B vorbei. Die Zeitangabe t der Uhr C wird beim Passieren der Anzeige tr verglichen. Befindet sich C unter A, so zeigen alle Uhren Null. Bis C zu B gelangt, läuft in den Uhren A und B das Lichtsignal zweimal auf und ab, während in der Uhr C das Lichtsignal nur einmal auf und ab läuft. Die Uhren A und B zeigen zwei Nanosekunden an, die Uhr C lediglich eine Nanosekunde.

Diese Eigenart konnte bei atomar betriebenen Uhren ebenso nachgewiesen werden wie bei Uhren mit anderen Laufwerken. Bereits 1971 erfuhr die Öffentlichkeit von einem aufsehenerregenden Experiment. Die Physikalische Fachwelt war von dem Experiment des Physikers Joseph Hafele und des Astronomen Richard Keating völlig überrascht und sah darin eine Art wissenschaftliches Lausbubenstück.

So umflogen die beiden die Erde einmal in östlicher und einmal in westlicher Richtung, um den Beweis anzutreten, dass Zeit bereits durch die Geschwindigkeit einer Düsenmaschine gedehnt wird. Sie hatten Atomuhren dabei, die mit anderen Atomuhren auf der Erde gleichgeschaltet waren. Schon nach dem ersten Rundflug hatten sich die mitgeführten Atomuhren gegenüber denen auf der Erde um 50 Nanosekunden verlangsamt. Das ist zwar nicht der Rede wert, wenn man bedenkt, dass ein Nanosekunde der Milliardste Teil einer Sekunde ist. Aber im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit fliegt ein Jumbo-Jet ja nicht einmal im Schneckentempo.

Eine eindrucksvolle Bestätigung der relativistischen Zeitdehnung liefert der Zerfall schnell fliegender Elementarteilchen. Elementarteilchen sogenannte Myonen. Myonen ähneln in vielen Eigenschaften den Elektronen, sie sind 206mal schwerer als herkömmliche Elektronen. Sie sind instabile Elementarteilchen und zeigen Eigenschaften ähnlich dem radioaktiven Zerfall. Bereits wenige Millisekunden nach ihrer Entstehung zerfallen die Myonen, die Halbwertszeit beträgt 1,52 µ Sekunden. In dem Experiment beobachtete man den Zerfall von Myonen, die nicht ruhten, sondern sich unter dem Einfluss des Magnetfeldes auf einer Kreisbahn bewegten. Dazu hatte man eigens einen Speicherring mit 14m Durchmesser gebaut in dem die Myonen fast mit Lichtgeschwindigkeit kreisen können. Unter diesen Bedingungen sollten nach vorhersagen der Relativitätstheorie die Halbwertszeit der Myonen durch die Zeitdillatation auf den Wert 44,6 µ Sekunden ansteigen. Rasche Bewegung erweist sich somit als ideales Mittel zur Lebensverlängerung, zumindest bei Elementarteilchen.

Das Zwillingsparadoxon

Wir nehmen zwei Zwillinge an, von denen einer auf der Erde bleibt, der andere mit hoher Geschwindigkeit in einem Raumschiff zu einem Stern reist. Nach dem Erreichen des Sterns kehrt er um und fliegt zurück. Für den Zwilling auf der Erde ist die Uhr seines Bruders sowohl beim Hin- als auch beim Rückflug nachgegangen. Dies gilt umgekehrt jedoch nicht für den Raumfahrer.

Erklärung:

Wie bereits festgestellt, ist die Zeitdillatation ein symmetrischer Effekt. Nehmen wir eine Reisegeschwindigkeit von v=2/3c an, gilt:

ts=

Da der Zwilling auf der Erde in einem (annähernd) gleichförmig bewegten Inertialsystem verbleibt, gilt: Wenn für den Raumfahrer 5 Jahre vergehen, sind dies für den Beobachter auf der Erde 6,7 Jahre.

Der Zwilling im Raumschiff darf diese Aussage jedoch nicht treffen, da er sich nicht in einem Inertialsystem befindet. Er muss nämlich beschleunigt werden um die Reisegeschwindigkeit zu erreichen, die Umkehr ist mit einem Beschleunigungsvorgang verbunden, die Landung mit einer Verzögerung. Damit ist die Symmetrie nicht gewährleistet. Eine Uhr im Raumschiff und eine auf der Erde zeigen beim Zusammentreffen der Zwillinge unterschiedlichen Zeitintervalle auf, obgleich sie beim Abflug gleichzeitig in Gang gesetzt worden sind. Doch nicht nur die Uhr des Raumfahrers geht langsamer, auch dessen biologische Vorgänge laufen langsamer ab. Der Zwilling im Raumschiff ist weniger gealtert als sein Bruder, der auf der Erde verblieben ist.

Dieser Effekt macht es für den Astronauten möglich von der Erde zu einem Fixstern der in 1.000 Lichtjahren Entfernung liegt, in einer Zeitspanne, die er als zum Beispiel 13,2 Jahre empfindet, zu gelangen.

Für die Rückreise würde er nochmals 13,2 Jahre benötigen. Würde er sofort wieder zurückfliegen so wäre er von der Erde, aus seiner Sicht, nur 26,4 Jahre abwesend. Das Problem ist nur, dass auf der Erde mehr als 2.000 Jahre vergangen sein würden. Es könnte ihm deshalb passieren, dass er nach seiner Rückkehr im Zoo endet.

Es wäre schön, wenn wir uns bequem in die vorhin erdachte Rakete setzen und durch den Weltraum reisen könnten. Zuerst wird es aber notwendig sein, eine solche Rakete zu entwerfen.

Mit der Gleichung v=

Können wir die Höchstgeschwindigkeit verschiedener Raketentypen ausrechnen. Diese Höchstgeschwindigkeit hängt vom Verhältnis der Endmasse (m1) zur Anfangsmasse (m0) der Rakete ab. Wesentlich ist, dass die Höchstgeschwindigkeit nur von der insgesamt abgegebenen Masse abhängt. Betrachten wir ein Beispiel, nehmen wir zunächst an, dass die Rakete auf dem Prinzip eines Atomreaktors aufbaut. Durch Uranspaltung soll Energie freigesetzt werden, wobei etwa 1% der Ruhemasse in Energie umgesetzt werden kann. Diese Energie soll Idealerweise völlig in kinetische Energie umgesetzt werden. Nehmen wir an, dass 90% der Rakete aus Uran besteht, und nur 10% für Technik und Nutzlast gebraucht werden. Setzen wir dies in die Gleichung ein, so folgt eine Geschwindigkeit v=c/10. Ein fliegendes Atomkraftwerk könnte also höchstens 1/10 der Lichtgeschwindigkeit erreichen. Die relativistischen Effekte sind hierbei völlig zu vernachlässigen, da sie nicht einmal 1% betragen. Innerhalb der Lebensdauer eines Menschen wäre es nicht einmal möglich zu den nächsten Sternen zu fliegen, dort zu bremsen und umzukehren. Etwas ermutigendere Zahlen ergeben sich bei der Betrachtung einer fliegenden Wasserstoffbombe, also eine Rakete, die auf der Fusion von Wasserstoff und Helium beruht. Mit einer solchen Rakete lässt sich eine Endgeschwindigkeit von v=c/5 erreichen. Auch hier sind die relativistischen Effekte zu vernachlässigen, sie betragen nur 2%.

Noch utopischer ist aber die Idee einer Rakete, die auf der Zerstrahlung von Materie und Antimaterie beruht. Es müsste gelingen gleich viele Teile von Materie und Antimaterie in einer Rakete aufzubewahren. Im Raketenmotor tritt dann restlos Zerstrahlung auf, und die Rakete emittiert Lichtquanten, deren Rückstoss den Antrieb liefert. Wir haben es also hier mit einem fliegenden Scheinwerfer zu tun. In diesem Fall beträgt die Auspuffgeschwindigkeit u=c. So dass besonders günstige Verhältnisse vorliegen. Setzen wir in die Gleichung ein, so erhalten wir eine Endgeschwindigkeit von v=0.98c. Mit einem derartigen Antrieb könnten wir eine Beschleunigung von a=10m/s^2 für 2.34 Raketen- Jahre aufrechterhalten. Auf der Erde wären inzwischen 5 Jahre vergangen. Während der Lebensdauer der Besatzung wäre es somit möglich die nächsten Fixsterne zu erreichen. Allerdings könnte man dort nicht bremsen, sondern müssten für alle Zeit mit dieser Geschwindigkeit durch das All rasen.

Gleichzeitigkeit

Im Sprachgebrauch gilt es als selbstverständlich, dass folgende Aussage sinnvoll ist: "Ein Ereignis an der Stelle A und ein Ereignis an der Stelle B finden gleichzeitig statt." Für den messenden Beobachter ist diese Aussage jedoch ohne Sinn, da er diese Aussage nicht überprüfen kann. Das folgende Beispiel zeigt, dass nicht nur die Zeit, sondern auch, dass die Gleichzeitigkeit keine absolute Gültigkeit besitzt.

Ein Zug bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit gleichförmig. In der Mitte des Waggons befindet sich der Beobachter B` und am Bahndamm Beobachter B. Sobald beide Beobachter auf der gleichen Höhe sind wird in der Mitte des Waggons ein Blitzlicht gezündet. Dieses Ereignis findet für beide gleichzeitig statt. Nun soll jeder von ihnen den Zeitpunkt vergleichen, zu denen die Lichtsignale an der Vorder- und der Rückwand des Waggons antreffen. Für B` ist Vorder- und Rückwand in Ruhe und gleich weit von ihm entfernt, daher treffen von ihm aus gesehen beide Lichtstrahlen an beiden Wänden gleich ein. Für B eilt die Vorderwand dem Lichtstrahl voraus, die Rückwand kommt ihm entgegen. Daher trifft der Lichtstrahl and er Rückwand früher ein als an der Vorderwand. Die Ereignisse finden nicht gleichzeitig statt.

Da kein Inertialsystem gegenüber dem anderen ausgezeichnet ist, hängt es vom Bezugssystem ab, ob Ereignisse gleichzeitig stattfinden oder nicht.

Die Lorenz Kontraktion

Einstein warf in seinen Theorien auch das Konzept der absoluten Länge über den Haufen. Es passte nicht in seine neue relativistische Welt, in der sowohl Zeit als auch Entfernung bzw. Länge gleichermaßen unbeständig sind. Es blieb natürlich nicht aus, dass diese Theorien zu einigen erstaunlichen Schlussfolgerungen über die Auswirkung relativistischer Geschwindigkeiten führten. Die Frage, wie man die Länge eines Körpers misst, erscheint zunächst sehr einfach.

Man zählt, wie oft man einen Meterstab hintereinander legen muss, um von einem zum anderen Ende des Körpers zu gelangen. Auf diese Weise wird die Länge eines Fahrzeugs bestimmt. Die im Ruhesystem des Fahrzeugs gemessene Länge bezeichnet man als Eigenlänge. Nehmen wir an, dass die Länge des Fahrzeugs eine Lichtsekunde beträgt. Nun müsste es aber auch möglich sein die Länge des bewegten Fahrzeugs zu messen.

Das so eben beschriebene Verfahren kann dann nicht mehr direkt angewandt werden. Man muss nun erreichen, dass das Fahrzeug, in dem betrachtetem System irgendwelche Marken hinterlässt, deren Abstand man dann messen kann. Es versteht sich von selbst, dass die beiden Marker gleichzeitig ausgelöst werden müssen. Die Länge des Fahrzeugs kann dann bestimmt werden, in dem man in gewohnter Weise den Abstand der beiden Markierungspunkte misst. Bei diesem Verfahren gilt es zu beachten, dass Gleichzeitigkeit nicht absolut gilt. Ereignisse, die in einem System gleichzeitig stattfinden vollziehen sich jedoch in einem bewegten System zu verschiedenen Zeiten. Es ist daher zu erwarten, dass Längenmessungen in der Bewegungsrichtung nicht stets zum gleichen Ergebnis führen werden. Die Marken liegen auf der X-Achse, man sieht, dass die gemessene Länge "l" kleiner ist als eine Lichtsekunde.

Relativistische Massenzunahme

1905 war für Einstein ein besonderes schöpferisches Jahr. Nachdem er die beiden bis dahin absoluten Größen -Zeit und Raum- von ihrem 'ehernen Sockel' gestoßen hatte, befasste er sich auch noch mit der Masse - dem dritten Grundbegriff der herkömmlichen Physik. Ohne an die undurchschaubaren Resultate einzelner Versuche auch nur einen Gedanken zu verschwenden, behauptete er kühn, Masse sei nichts anderes als verfestigte Energie; und jede Energie setze Materie frei. Somit waren auch Photonen bzw. Lichtquanten nichts anderes als Teilchen, die sich ihrer Masse entledigt hatten und sich nun in Form von Energie mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegten. Unterhalb der Lichtgeschwindigkeit verdichtete sich dagegen Energie durch die Verlangsamung zu Materie.

Einstein erkannte, dass Masse mit steigender Geschwindigkeit zunimmt, dies aber erst bei annähernd Lichtgeschwindigkeit. Aus der Tatsache, dass ein Körper zur Beschleunigung Energie braucht, leitete Einstein eine Verbindung zwischen Energie und Masse ab.