Verkehrstheorie

Allgemeines

Definition der Verkehrstheorie

Die Verkehrstheorie ist ein mathematische Beschreibung statistischer Vorgänge und dient zum geeigneten Dimensionieren von Datenverkehrseinrichtungen (Koppelnetzwerke, Leitungen), da jeder Verkehrsteilnehmer zu jeder Zeit ohne spürbare Wartezeiten Verbindungen herstellen möchte, die Betreiber der entsprechenden Anlage (Fernsprechanlage, Datenverarbeitungsanlage, usw.) wiederum möchten kostengünstig alle Verbindungswünsche mit ausreichender Übertragungsqualität zufriedenstellen.

Der Begründer der Verkehrstheorie war A.K. Erlang (1878-1927).

Das Hauptanwendungsgebiet der Verkehrstheorie war und ist der Fernsprechverkehr. Hierfür beschäftigt sie sich mit folgenden Problemen:

zu welcher Zeit und wie oft Fernsprechteilnehmer Gespräche aufbauen

wie lange sie sprechen und dadurch Vermittlungseinrichtungen beanspruchen

Die Ergebnisse, die man mit Hilfe der Verkehrstheorie erhält, sind Formeln, Rechenregeln, Tabellen u. ä.

Beispiel zur Erläuterung der Problematik der Verkehrstheorie:

Wohnhausanlage mit 20 Wohnungen und ebenso vielen Telefonanschlüssen:

Angenommen es gibt so viele Telefonleitungen wie Teilnehmer zur nächsten Fernsprechvermittlungsstelle, d.h. um eine 100% Auslastung zu erzielen müßte jeder Teilnehmer 24 Stunden pro Tag, sein ganzes Leben lang telefonieren. Da dies auf äußerst wenige Menschen zutrifft (im Schnitt werden 10 - 60 min in 24 Std. pro Teilnehmer gerechnet), ist diese Überlegung als eindeutig unwirtschaftlich einzustufen.

Angenommen es gäbe nur eine Leitung von dieser Wohnhausanlage zur Vermittlungsstelle, so wäre diese eindeutig überlastet. Zwar würden rein mathematisch betrachtet für jeden Teilnehmer mehr als 60 min. zur Verfügung stehen, aber die Wahrscheinlichkeit ist äußerst groß, daß zu gewissen Tageszeiten ein erhöhtes Anrufbedürfnis herrscht. Somit wäre zu gewissen Zeiten die Leitung ständig besetzt und der Kunde äußerst unzufrieden.

FAZIT: Die Zahl der Leitungen muß in diesem Fall zwischen 1 und 20 liegen. Um die genaue Anzahl zu ermitteln müssen verschiedene Annahmen getroffen und diverse Begriffe geklärt werden.

Annahmen der Verkehrstheorie

A.  Telefonanschlüsse werden nicht voll ausgenützt. Angenommenes Mittel pro Teilnehmer: 10 - 60 min. /24 Std.

B.  Die von den Teilnehmern erzeugten Verbindungswünsche entstehen rein zufällig.

C.  Die Nichtlinearität der Verbindungswünsche in Abhängigkeit der Tageszeit, des Wochentages und der Jahreszeit, d.h. die Verkehrsintensität wird in der Silvesternacht wesentlich höher sein als an einem x-beliebigen Tag im Jahr um 3 Uhr morgens.

Begriffe des Fernsprechverkehrs

Koppelpunkte (KP):

Schaltmittel, die es ermöglichen, eine Verbindung zwischen zwei Leitungen herzustellen und wieder zu trennen, nennt man Koppelpunkte. Da pro Kommunikationseinrichtung meist zwei Adern für die Signalübertragung verwendet werden, hat man pro Koppelpunkt zwei Kontakte, die gleichzeitig betätigt werden, um eine Verbindung durchzuschalten oder zu trennen.

Koppelanordnung (KA):

Einrichtungen, die ein Durchschalten von Verbindungen zwischen mehreren Teilnehmern oder Leitungen ermöglichen, nennt man Koppelanordnungen.

Koppelreihe (KR):

Eine Reihe aus Koppelpunkten, mit denen man eine Leitung wahlweise mit mehreren Leitungen verbinden kann, nennt man eine Koppelreihe.

Beispiel Koppelreihe mit einem Eingang und k Ausgängen

Koppelvielfach (KV) bzw. Koppelmatrix:

Mehrere Koppelpunkte, die so geschaltet sind, daß jede an die "i"-Seite angeschlossene Leitung jede Leitung an der "k"-Seite erreichen kann.

Charakteristische Verkehrsgrößen und Definitionen

Hauptverkehrsstunde (HVStd):

Die Verkehrsintensität schwankt durch das Verhalten der Fernsprechteilnehmer je nach Tageszeit, Wochentag und Jahreszeit. In der abgebildeten Kurve erkennt man unterschiedliche Einflüsse, z.B.

Beginn und Ende der Arbeits- und Geschäftszeiten

Mittagspausen

Beginn des ermäßigten Tarifs und

Eintritt der Nachtruhe

Teilnehmerverhalten

Es wäre unwirtschaftlich, die Vermittlungsanlagen in einem Netz so auszubauen, daß auch die größten Verkehrsspitzen restlos bewältigt werden. Andererseits wäre es den Teilnehmern gegenüber unzumutbar, wenn die Anlagen nur einer mittleren Verkehrsintensität des Tagesverlaufs gewachsen wären. Deshalb ermittelt man eine für eine Anlage repräsentative Stunde, deren Verkehrsintensität für den Ausbau der Anlage maßgebend sein soll. Diese Hauptverkehrsstunde wird ermittelt, indem an mehreren aufeinanderfolgenden Tagen (5 bis 10 Werktagen) viertelstündlich der Verkehr gemessen wird. Jeweils vier aufeinanderfolgende Meßwerte werden zusammengefaßt und zur Mittelwertbildung über alle Meßtage verwendet. Die Hauptverkehrsstunde hat also keine bestimmte zeitliche Lage. Ermittelt wird auf diese Weise eine mittlere Belastung während einer gedachten Hauptverkehrsstunde. Im allgemeinen gelten die Angaben der Verkehrstheorie für die Hauptverkehrsstunde.

c_y:

tatsächlich zustande gekommene Belegung; gibt an wie viele Verbindungen innerhalb einer gewissen Zeit zustandegekommen sind; [c_y] = 1/s

c_a:

angebotene Belegungswünsche; gibt an wie viele Verbindungen innerhalb einer gewissen Zeit möglich gewesen wären; [c_a] = 1/s

c_v:

verlorengegangene Belegungswünsche; gibt an wie viele Verbindungen innerhalb einer gewissen Zeit nicht zustandegekommen sind; [c_v] = 1/s

t_m:

mittlere Belegungsdauer; gibt an, wie lange eine Verbindung im Schnitt dauert; [t_m] = s

Verkehrswert (Belastung) Y:

Der über Koppelanordnungen durchgeschaltete Verkehr

                  Belegungen (c) in einem bestimmten Zeitraum * mittl. Belegungsdauer (t_m)

[Y] = Erlang (Erl)       künstliche Einheit

Die Einheit des Verkehrs 1 Erl könnte man auch so definieren, daß eine Einrichtung oder Leitung in einer Stunde 60 Minuten lang durch Belegungen genutzt ist. Dabei stellt 1 Erl den Höchstwert dar, der nur unter idealen Bedingungen erreicht werden kann. Hierzu einige Beispiele:

Eine Leitung kann einen Verkehrswert von 1 Erl erbringen.

Ein PCM-Kanal hat ebenfalls max. 1 Erl.

Ein PCM-Highway hat also max. 30 Erl (weil 30 Kanäle verfügbar)

Durchschnittliche Verkehrswerte:

Teilnehmeranschluß an Nebenstellenanlagen Y = 0.2 Erl

Teilnehmeranschluß am öffentlichen Netz 0.1 bis 0.15 Erl

Leitungen zwischen Nebenstellenanlagen und OVSt 0.8 Erl

Verkehrsangebot A:

      der von den Quellen (Teilnehmern) angebotene Verkehr

Verkehrsrest R:

Geht bei Verlustsystemen verloren und wird bei Wartesystemen eingereiht.

Verlust:

Wahrscheinlichkeit, daß ein Belegungswunsch verloren geht.

               V ist bezogen auf die geleisteten Belegungen

               B ist bezogen auf die angebotene Belegung

allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung F(t)

Anzahl der Quellen q

Eigenschaften des Fernsprechverkehrs

Betrachtet man eine einzige Leitung, so stellt man unterschiedliche Belegungs- und Pausenzeiten fest. Eine gute Näherung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung F(t), der von den Teilnehmern verursachten Belegungsdauer, ist die negativ exponentielle Verteilung.

e Enderate (Wahrscheinlichkeitsdichte für das Enden einer Belegung) 

t_m mittlere Belegungsdauer (einige Minuten)

F(t) ist hier die Wahrscheinlichkeit, daß die Dauer einer Belegung größer als die Zeit t ist (z.B. die Wahrscheinlichkeit, daß ein Telefongespräch länger 3t_m dauert ist ca. 5%).

Entsprechend analog können auch die Quellen betrachtet werden. Die neg. exponentielle Verteilung ist auch für die Pausenzeiten der freien Quelle eine gute Näherung. Mit der mittleren Pausenzeit einer Quelle (a_m) erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Enden einer Pausenzeit = Wahrscheinlichkeitsdichte für das Eintreffen eines von dieser Quelle herrührenden Anrufs (Anrufrate).

a Anrufrate           

a_m mittlere Pausenzeit einer Quelle

Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anrufabstände: 

In der Praxis interessiert man sich nicht für eine Quelle oder Leitung; sonder für ein Bündel von Leitungen; man beschäftigt sich mit der Frage, wieviel Leitungen zu irgendeinem Zeitpunkt belegt sind. Da fortlaufend neue Belegungen hinzukommen und andere enden, ergibt sich das unten dargestellte Belegungsgebirge und die Wahrscheinlichkeitsverteilung für dieses Beispiel.

Von besonderer Bedeutung sind jene Zeiten, in denen alle Leitungen belegt sind. Erhält ein Bündel mit 4 Leitungen von mehr als 4 Quellen Belegungswünsche, so unterscheidet man verschiedene Systeme:

Im Verlustsystem werden die Belegungswünsche, die eintreffen während alle n Leitungen belegt sind, abgewiesen (sie gehen verloren). Der Teilnehmer hört den Besetztton. Unser Fernsprechsystem ist ein Verlustsystem.

Im Wartesystem werden, falls alle n Leitungen belegt sind, die Belegungswünsche so lange gespeichert, bis eine bestehende Belegung. Für die Zahl der Warteplätze s gilt:  s q - n

Im Warte-Verlustsystem ist die Anzahl der Warteplätze s begrenzt: s < q - n . Dadurch werden zwar die Belegungswünsche gespeichert falls alle n Leitungen belegt sind, doch wenn alle Warteplätze belegt sind, werden eintreffende Belegungswünsche abgewiesen und gehen somit verloren.

Verlustsystem

Systeme mit vollkommener Erreichbarkeit

Die Erlangsche Verlustformel:

Ausgehend von einem System mit vollkommener Erreichbarkeit (d.h. jede Quelle kann mit jeder freien Leitung verbunden werden; jede Zubringerleitung kann jede Abnehmerleitung erreichen), wird die Verteilungsfunktion P(x) für die Bündelbelegung hergeleitet. Für diesen Zweck geht man von "x belegten Leitungen" aus: 0 x n

Es gilt:

Die "Zustandsübergänge" werden durch neue Belegungswünsche bzw. durch Gesprächsbeendigungen verursacht. D.h.: Sind beispielsweise 4 Leitungen belegt, so geht dieser Zustand in den Nachbarzustand von 3 Leitungen (bei Gesprächsbeendigung), bzw. von 5 Leitungen (bei neuem Belegungswunsch) über.

l_x Übergangsrate herrührend von eintreffenden Anrufen           (Quellen minus belegten Leitungen mal Anrufrate)

e_x Übergangsrate herrührend von endenden Belegungen (Enderate mal belegten Leitungen bzw. belegte Leitungen durch mittlere Belegungsdauer)

Ansatz für die Erlangsche Verlustformel:

In Worten bedeutet diese Formel:

UND ist gleich ODER

Diese Formel ist die Rekursionsformel für die Zustandswahrscheinlichkeit P(x) (rekursiv zurückgehend auf bekannte Werte).

Wir werden in den folgenden Schritten versuchen aus obigem Ansatz P(x) auszurechnen, die Wahrscheinlichkeit, daß x Leitungen belegt sind.

Dafür setzen wir in die Formel für x=0 ein:

Die Wahrscheinlichkeit, daß einer auflegt wenn keiner telefoniert ist 0 ()

Die Wahrscheinlichkeit, daß minus eine Leitung belegt ist, ist ebenfalls 0.

Für x=1 (wieder in Rekursionsformel eingesetzt):

Durch Ersetzen von P(1) durch P(0) erhält man:

Wenn man jetzt für x = 2, 3, 4, einsetzen würde erhält man eine allgemeine Formel:

Da immer irgendeine Anzahl von Leitungen belegt ist gilt:

     bzw.

Setzt man nun für P(x) in dieser Formel ein, kann man sich P(0) ausdrücken und in der Formel für P(x) rückeinsetzen. Man erhält dann für P(x):

Durch Einsetzen von und  erhält man die gesuchte Verteilungsfunktion für die Bündelbelegung:

     ERLANG'S BERNOULLI FORMEL

Zufallsverkehr 2.Art (Engseth - Charakter)

Für die folgenden Formeln wird von einer überschaubaren Quellenanzahl q und erfaßbaren Anrufraten a ausgegangen:

Belastung Y des Bündels:    

Angebot A:     weil

aus obigen Formeln erhält man auch:            da

Verkehrsrest R (Angebot bei x = n):

prozentueller Verlust B:        

Die Belastung Y läßt sich auch, um die Summation zu umgehen, über A und R ausdrücken:

Zufallsverkehr 1.Art (Erlang - Charakter)

Durch das bestehende Telefonnetzwerk ist die Zahl der Quellen extrem hoch (q ), die Anrufrate je freier Quelle hingegen extrem gering (a 0). Somit ist der Grenzwert der Anrufrate l konstant.

Für das Angebot A gilt somit:          

Daraus ergibt sich die Erlangsche Verteilung P(x), bzw. die Erlangsche Verlustformel, welche aus dem auftretenden Verlust resultiert (für x=n, wenn alle n Leitungen belegt sind).

                       

Da es sich hier um statistische Werte handelt, wurden diese bereits berechnet und in Tabellen festgelegt, welche in der Praxis benutzt werden.

Die Verlustwahrscheinlichkeit B kann auch in folgendem Diagramm abgelesen werden:

Verlustwahrscheinlichkeit B als Funktion des auf die Anzahl n der Abnehmer bezogenen Angebots A bei vollkommener Erreichbarkeit und Zufallsverkehr 1.Art für verschiedene n

Systeme mit begrenzter Erreichbarkeit

Hier werden im Gegensatz zu k = n (2.1. Systeme mit vollkommener Erreichbarkeit) Koppelanordnungen mit begrenzter Erreichbarkeit behandelt: k < n

Begrenzte Erreichbarkeit hat eine Einrichtung, wenn Zubringerleitungen nur einen Teil der Abnehmerleitungen erreichen können.

k Anzahl der Koppelanordnungen

Im System mit begrenzter Erreichbarkeit kann nicht jede Quelle mit jeder freien Leitung verbunden werden. Trotzdem gibt es für den Einsatz dieses Systems mehrere Gründe:

Konstruktive Beschränkungen für die Größe der Koppelvielfache

Teure Koppelpunkte fallen weg

Fehlende Zeit zum Absuchen des ganzen Abnehmerbündels

Wartesysteme

Im Gegensatz zum Verlustsystem, bei dem die Belegungswünsche verloren gehen, wenn die Verbindung belegt ist, werden sie beim Wartesystem in eine Warteschlange eingereiht. Diese muß so dimensioniert sein, daß alle zusätzlichen Wünsche in ihr Platz finden (hat die Warteschlange nicht genug Platz, dann gehen alle Belegungswünsche, die nach totaler Belegung der Warteschlange eintreffen verloren. In diesem Fall spricht man von einem Warte-Verlust-System).

Wartesysteme müssen bei Systemen zum Einsatz kommen, wo keinerlei Verluste auftreten dürfen, wie z.B. bei Paketvermittlungssystemen oder Datenverarbeitungsanlagen.

Maßgebend für die Beurteilung eines Wartesystems ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Anruf länger als eine Zeit t warten muß, d.h. die Überschreitungswahrscheinlichkeit P(>t), speziell die Wahrscheinlichkeit P(>0) dafür, daß ein Anruf überhaupt warten muß, und entweder die mittlere Wartezeit aller Anrufe t_w* oder die mittlere Wartezeit nur der wartenden Anrufe t_w. Beide sind durch

verknüpft, da sich die mittlere Wartezeit aller Anrufe anteilig aus der der wartenden und der der nicht wartenden Anrufe zusammensetzt.

Für die Bemessung der Warteschlangen ist die Anzahl der wartenden Anrufe maßgebend. Ihr Mittelwert w, der allein zur Bemessung natürlich nicht ausreicht, ergibt sich aus der mittleren Anzahl der pro Zeiteinheit eintreffenden Anrufe A/t_m und der mittleren Wartezeit aller Anrufe, sofern alle Anrufe beliebig lange warten können, sofern also weder die Wartezeit noch die Warteschlange in ihrer Länge begrenzt sind:

Diese Beziehung gilt in dieser Form für die Gesamtheit aller Anrufe; werden Prioritäten verwendet, dann gelten entsprechende Beziehungen je Priorität j:

Im folgenden wird im allgemeinen davon ausgegangen, daß das Angebot zustandsunabhängig ist (q ) und die Anrufabstände negativ exponentiell verteilt sind. Zuerst werden Anordnungen mit n Abnehmern betrachtet, dann solche mit nur einem Abnehmer. Sie spielen bei Wartesystemen große Rolle, da der Zugriff zu zentralen Vermittlungseinrichtungen im allgemeinen über ein Wartesystem erfolgt. Aus dem gleichen Grund ist es hier von besonderer Bedeutung, auch den Fall konstanter Belegungsdauern zu berücksichtigen. Dagegen werden Wartesysteme mit begrenzter Erreichbarkeit hier außer Acht gelassen, d.h. es wird im folgenden stets vollkommene Erreichbarkeit vorrausgesetzt.

Wartesysteme ohne Prioritäten

Entsprechend dem Vorgehen bei der Darstellung von Verlustsystemen soll hier ein System mit mehreren Abnehmern betrachtet werden, dem Zufallsverkehr angeboten wird. Es gebe nur eine einzige Warteschlange und keine Prioritäten. Die Warteschlange sei unbegrenzt, ebenso die Wartezeit, und die Anrufe werden in der Reihenfolge ihres Eintreffens abgefertigt. Ein stationärer Prozeß ist nur dann vorhanden, wenn im Mittel weniger Anrufe eintreffen als durch die n Abnehmer überhaupt verarbeitet werden können, d.h. A muß kleiner als n sein.

Die Wartewahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Anruf eintrifft und warten muß, bezogen auf die Wartewahrscheinlichkeit dafür, daß - im gleichen Zeitabschnitt - überhaupt ein Anruf eintrifft. Bei Zufallsverkehr 1.Art erhält man, abgeleitet aus den Zustandswahrscheinlichkeiten,

,

also eine ähnliche Beziehung wie die Erlangsche Verlustformel. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle n Abnehmer belegt sind und mehr als r Anrufe warten ist

und die mittlere Anzahl aller wartenden Anrufe ist

Die Wahrscheinlichkeit P(>0) ist auch bei sehr geringem Verkehr endlich. Je mehr sich das Angebot der Anzahl der Abnehmer nähert, desto größer ist die mittlere Anzahl der wartenden Anrufe, während die Wartewahrscheinlichkeit ebenso wie P_w(>r) sich dem Wert 1 nähert.

Wegen der negativ exponentiellen Verteilung der Belegungsdauern besitzt auch die Wartezeit eine solche Verteilung. Ein Anruf wartet also mit der Wahrscheinlichkeit

länger als die Zeit t auf den Beginn der Bearbeitung. Dabei ist t_w = t_m/(n-A) die mittlere Wartezeit der wartenden Anrufe. Auch bei sehr kleinem Angebot behält t_w mindestens den Wert t_m/n, da, wenn ein Anruf überhaupt wartet er im Mittel solange warten muß, bis einer der Abnehmer frei wird. Die mittlere Wartezeit t_w* aller Anrufe ist dagegen für kleine Werte des Angebots ebenso wie die Wartewahrscheinlichkeit sehr klein.

Wahrscheinlichkeit P(>t), daß die Wartezeit größer als die Zeit t ist, als Funktion der auf die mittlere Belegungsdauer t_m bezogene Zeit t bei einem auf die Anzahl n der Abnehmer bezogenen Angebot A von 0.75 Erl, vollkommener Erreichbarkeit und Zufallsverkehr 1.Art für verschiedene n

Beim eben betrachteten Beispiel war vorausgesetzt worden, daß die Anrufe in der Reihenfolge des Eintreffens abgefertigt werden ("first in, first out). Diese Voraussetzung beeinflußt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wartezeit. Die Wartewahrscheinlichkeit und der Mittelwert der Wartezeit sind jedoch unabhängig von der Warteschlangendisziplin, solange die zu erwartenden Belegungsdauern dabei nicht berücksichtigt werden.

Der Einfluß der Warteschlangendisziplin zeigt sich erst bei der Streuung der Wartezeiten.

Am häufigsten werden Warteschlangen nach der FIFO (First In First Out) - Strategie, auch FCFS (First Come First Serve) - Strategie genannt angelegt. Die ankommenden Anforderungen werden in der Schlange hinten eingereiht und von vorne abgerufen. Die Strategie wird als eine faire Strategie angesehen.

Die LIFO (Last In First Out) - Strategie, auch LCFS (Last Come First Serve) - Strategie genannt, wird dann angewandt, wenn die Bedeutung der Anforderungen mit der Zeit abnimmt. Die zuletzt angekommene Anforderung wird deshalb als erste behandelt. Die Warteschlange wird so angelegt, daß die ankommende Anforderung vorne eingereiht wird und wiederum von vorne abgerufen wird.

In realen Systemen wird häufig eine unterschiedliche Speicherkapazität für die Speicherung der einzelnen Anforderungen erforderlich. Die Anforderungen werden in zufälliger Anordnung - gerade wo der Speicherplatz ausreicht - abgelegt. Diese zufällige Strategie - Random Queue genannt - hat keinen Einfluß auf die mittleren Wartezeiten.

Unabhängig von der Warteschlangendisziplin sind die mittlere Anzahl und die mittlere Wartezeit der wartenden Anrufe. Die Verteilung der Belegungsdauern ist nur soweit von Einfluß auf diese Mittelwerte, wie sie zu unterschiedlichen Werten für die Streuung s_m der Belegungsdauern führt:

Bei gleicher mittleren Belegungsdauer und gleichem Angebot ist die mittlere Wartezeit am kleinsten bei konstanten Belegungsdauern (s_m = 0); bei negativ-exponentieller Verteilung (s_m = t_m) ist die Wartezeit doppelt so groß.

Mittlere Wartezeit t_w* aller Anrufe, bezogen auf die mittlere Belegungsdauer t_m, als Funktion des Angebots A bei negativ-exponentiell verteilten Anrufabständen und einem Abnehmer für verschiedene Streuungen s_m der Belegungsdauern

Wartesysteme mit nichtunterbrechenden Prioritäten

Die Zuweisung von Prioritäten stellt eine besondere Warteschlangendisziplin für den Gesamtvorgang dar, so daß die obigen Beziehungen auch hier gelten, sofern bei Zuweisung von Prioritäten nicht nach den zu erwartenden Belegungsdauern vorgegangen wird. Im folgenden wird speziell vorrausgesetzt, daß die Belegungsdauern in den verschiedenen Prioritäten der gleichen Verteilung genügen. Diese Vorraussetzung trifft für Systeme zu, bei denen ein Abnehmer alle Anrufe, unabhängig von ihrer Priorität, in der gleichen Weise verarbeitet, z.B. eine Speichervermittlung mit Teilnehmern, deren Nachrichten bevorzugt abgefertigt werden, ohne daß diese sich im Aufbau des Nachrichtenkopfes oder in der Nachrichtenlänge von den übrigen unterscheiden. Außerdem sollen in jeder Priorität die Anrufe negativ-exponentiell verteilt eintreffen.

Für den Anteil A₁ am Gesamtangebot, der mit höchster Priorität abgefertigt wird, ist nach wie vor die Wartewahrscheinlichkeit genau so groß, wie für das Gesamtangebot, da bestehende Belegungen nicht unterbrochen werden. Die Wartezeiten der wartenden Anrufe sind aber kürzer, und zwar stimmt ihre Verteilung mit der Verteilung überein, die sich ergibt, wenn überhaupt nur der Anteil A₁ angeboten wird.

Die mittlere Wartezeit t_w1 ist entsprechend

gegenüber der mittleren Wartezeit t_w des Gesamtvorgangs verkürzt. Ahnliche Beziehungen gelten für die Anteile, die mit niedrigeren Prioritäten abgefertigt werden. Bei geringem Gesamtverkehr ist die Zuweisung von Prioritäten ohne große Auswirkung, bei hohem Verkehr wirken sie sich dagegen sehr deutlich aus; vor allem bleiben die mittleren Wartezeiten der wartenden Anrufe in allen Prioritäten außer der niedrigsten auch dann endlich, wenn der Gesamtverkehr gegen n geht. Zur Erläuterung zeigt untenstehendes Diagramm die mittlere Wartezeit aller Anrufe bei einer gleichmäßigen Aufteilung in drei Prioritäten. Entsprechende Beziehungen gelten auch für Systeme mit mehr als einem Abnehmer.

Mittlere Wartezeiten t_w* aller Anrufe bzw. aller Anrufe mit einer von drei Prioritäten t_w1* bis t_w3* bei negativ-exponentiell verteilten Anrufabständen, gleichmäßiger Aufteilung des Angebotes auf die Prioritäten und einem Abnehmer

Weitere Systeme mit Wartemöglichkeit

Die in den bisherigen Betrachtungen getroffene Annahme, daß die Warteschlangen unbegrenzt sind, d.h. mindestens so viele Plätze enthalten, wie es Zubringer gibt, ist nicht immer erfüllt. In einem System mit begrenzter Wartemöglichkeit ist die Verlustwahrscheinlichkeit geringer als bei einem reinen Verlustsystem, die mittlere Wartezeit geringer als bei einem Wartesystem ohne Begrenzung.

Kommt es in einem System darauf an, nicht nur die mittlere Wartezeit der wartenden Anrufe mit höheren Prioritäten zu verringern, sondern auch die Wartewahrscheinlichkeit, so müssen Belegungen niederer Priorität unterbrechbar sein. Der Verkehr mit höchster Priorität wird dann so abgefertigt, als gäbe es nur diesen Anteil. Die Wartewahrscheinlichkeit sinkt entsprechend, und die Warteverteilung wird innerhalb dieser Priorität nur durch die Belegungsdauern dieser Priorität selbst bestimmt.

Durch eine andere Maßnahme kann die mittlere Wartezeit aller Rufe minimiert werden und zwar dadurch, daß Anrufe mit der kürzesten zu erwartenden Belegungsdauer mit höchster Priorität abgefertigt werden.

Verkehrsmessungen

Messungen von Parametern

In den vorhergehenden Abschnitten wurden verkehrstheoretische Fragen an Hand bestimmter Verteilungen erörtert. Kann man in dieser Weise den Funktionsverlauf voraussetzen, also z.B. sagen, daß eine negativ-exponentielle Verteilung vorliegt, dann besteht die Aufgabe von Verkehrsmessungen darin, die Parameter der Verteilung zu ermitteln, etwa den mittleren Anrufabstand und zwar für die Hauptverkehrsstunde, die selbst ebenfalls durch Messungen bestimmt werden muß. Dabei kann sich für manche Datennetze ergeben, daß es keine ausgeprägte Konzentration des Verkehrs auf einen solchen Zeitraum gibt.

Die Messung der Parameter ist vor allem erforderlich, um langfristige Anderungen im Verkehr feststellen zu können, damit die Vermittlungseinrichtungen rechtzeitig den veränderten Anforderungen angepaßt werden können. Von solchen langfristigen Anderungen sind kurzfristige zu unterscheiden, wie sie sich z.B. bei Übergängen von verkehrsschwachen zu verkehrsstarken Zeiten oder umgekehrt zeigen.

Ermittlung von Verteilungsfunktionen

In der Regel kann man aber nicht davon ausgehen, daß die Verteilungen in ihrem Funktionsverlauf bekannt sind. Es wäre also wünschenswert, auch die Verteilung selbst aus den Meßgrößen ableiten zu können. Praktisch begnügt man sich mit der annähernden Ermittlung einiger Momente. Davon ausgehend kann man eine unbekannte Verteilung durch eine andere beschreiben, die mit ihr in den Momenten übereinstimmt.

Umfang der Messungen

Ein besonderes Problem entsteht bei unbekannten Verteilungen hinsichtlich des Umfangs der Messungen, die erforderlich sind, um die Parameter genügend genau zu bestimmen. Unter Genauigkeit ist hier ein Paar von Begriffen zu verstehen, nämlich das Vertrauensintervall I und die statistische Sicherheit S. Das Vertrauensintervall gibt an, wie weit der wahre Wert von dem aus Messungen gewonnenen Wert abweichen kann. Die statistische Sicherheit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Vertrauensintervall zutrifft. Auf Grund eines bestimmten Umfangs der Meßwerte kann man ein enges Vertrauensintervall mit geringer oder ein breiteres Vertrauensintervall mit höherer statistischer Sicherheit behaupten.

Vertrauensintervall I als Funktion der Anzahl n der Messungen bei Zufallsverkehr 1.Art für verschiedene Werte der statistischen Sicherheit S

Für Verteilungen der Belegungsdauer mit größerer Streuung sind mehr, für Verteilungen mit geringerer Streuung weniger Messungen erforderlich, um zum gleichen Vertrauensintervall bei gleicher statistischer Sicherheit zu kommen.

Durchführung der Messungen

Eine einfache Möglichkeit zur Messung von Parametern besteht darin, fortlaufend den Belegungszustand der betreffenden Einrichtung zu messen und daraus die im einzelnen interessierenden Größen zu ermitteln. Voraussetzung dafür ist, daß es eine der Messung zugängliche Darstellung des Belegungszustandes gibt, sei es eine mit der Belegung gegebene physikalische Größe, die dann durch spezielle Meßgeräte erfaßt wird, sei es ein Abbild des Belegungszustandes, z.B. im Speicher einer Vermittlungsstelle mit speicherprogrammierter Steuerung, daß durch ein Meßprogramm bearbeitet werden kann.

Genauere Angaben über den Verkehr lassen sich dadurch gewinnen, daß Angaben über die einzelnen Belegungen aufgezeichnet werden. Bei zentralgesteuerten Vermittlungsstellen ist eine vollständige Aufzeichnung aller Rufdaten möglich (Zeitpunkt und Inhalt aller Steuersignale vom Ruf bis zur Schlußzeichenbestätigung) und durch Verarbeitung dieser Daten eine genaue Analyse des gesamten Verkehrs.

Weitere Anwendungen der Verkehrstheorie

Die Verkehrstheorie beschäftigt sich neben der Wahrscheinlichkeitsrechnung für Warte- und Verlustsysteme auch mit Koppelanordnungen; d.h. wie diese dimensioniert werden, damit jeder Teilnehmer mit jedem telefonieren kann, ohne daß Unmengen an Koppelpunkten verwendet werden.

Eine Koppelmatrix (siehe Punkt 1.3.) hätte zum Beispiel den Vorteil, daß stets, wenn ein Teilnehmer A (an der i-Seite) eine Verbindung mit einem Teilnehmer B (an der k-Seite) wünscht und der Teilnehmer B frei ist, die Verbindung auch durchgeschaltet werden kann. Man nennt eine Koppelanordnung mit dieser Eigenschaft blockierungsfrei. Verzichtet man auf diese Blockierungsfreiheit, so kommt man mit wesentlich weniger Koppelpunkten aus. Dies ist besonders wichtig bei einer großen Anzahl von Teilnehmern, denn die Anzahl der Koppelpunkte wächst in diesem Beispiel quadratisch mit der Teilnehmerzahl. Deshalb versucht man mit Hilfe der Verkehrstheorie die Koppelpunkte in den Koppelanordnungen möglichst günstig einzusetzen, um für möglichst viele Teilnehmer möglichst wenig Koppelpunkte zu verwenden.

Quellenangaben

P. Bocker: Datenübertragung / Band I. - Grundlagen

Gerd Siegmund: Technick der Netze

Firoz Kaderali: Digitale Kommunikationstechnik II.

Diverse Schülerreferate