x2

Behauptung:   x² = 2 x ist nicht Element aus Q

Annahme: x² = 2 x ist Element aus Q

Wenn es eine Lösung für x gibt kann es nur ein Dezimalbruch sein, da man mit einem abbrechenden Bruch nicht auf die Wurzel von 2 kommen kann.

Also: x² = 2            (p/q)² = 2 x = p/q

q kann nicht  1 sein weil die Wurzel aus 2 zwischen 1 und 2 liegt. Wenn der Nenner nämlich 1 wäre würde der Bruch 1;2;3 er könnte also nicht zwischen 1 und 2 liegen.

Da p/q vollständig gekürzt ist sind p und q teilerfremd und Element aus N.

Wenn x² = 2 mit p/q erfüllt werden soll muss gelten:

x² = 2   ≈ (p/q)² = 2 ≈ p²/q² = 2

Wenn q nicht 1 ist kann q² auch nicht 1 sein und da p und q teilerfremd sind kann der Bruch keine Natürliche Zahl enthalten also auch keine 2, es gilt:

p²/q² nicht Element aus N ≈ p²/q² ≠ 2

Für x² = 2 existiert keine rationale Lösung.