Physik- und Mathematikunterricht der Kollegstufe - Theoretische Herleitung

Einleitung

Im Physik- und Mathematikunterricht der Kollegstufe wird jeder Schüler auf Exponentialfunktionen stoßen. Die ersten Gedanken sind üblicherweise in der Art von "Aha, wieder eine neue Funktion" oder "Super, und was bringt mir das ?". Den Wenigsten ist bekannt, dass sie in verschiedensten Fachgebieten ganz elementare Zusammenhänge beschreibt. In den folgenden Seiten versuche ich einen kurzen Einblick in den physikalischen Praxisbezug der e-Funktion zu geben. Zuerst aber einmal zu den mathematischen Grundlagen:

Theoretische Herleitung

Es wird eine Funktion gesucht, deren Ableitung der Stammfunktion entspricht. Trigonometrische, logarithmische und Polynomfunktionen können ausgeschlossen werden, da sich mit ihrer Ableitung ihr Funktionstyp oder ihr Grad ändert. Der einzige Funktionstyp, der seine Form nicht ändert, ist also eine exponentielle Funktionen der Form a^x mit a als reeller Zahl.

Herleitung der strengen Monotonie der Funktion

Für die Herleitung der strengen Monotonie der Exponentialfunktion wird die Differenzierbarkeit an der Stelle x = 0 vorausgesetzt. Der maximale Definitionsbereich ist t (reelle Zahl).

Als Folge erhalten wir also .

Die Ableitung von existiert also in ganz D_f, somit ist f überall differenzierbar und darausfolgend auch stetig. Es gilt also immer > 0, bzw. < 0 (abhängig von , da a^x > 0).

Daraus folgern wir dass f(x) eine streng monotone Funktion ist.

Grobe Bestimmung der Zahl e:

Es wird nun ein Wert für die Zahl a gesucht, für den gilt: .

Dies entspricht nach obiger  Herleitung = 1. Dieses a wird mit e bezeichnet (Eulersche Zahl).

Für a = 2 :      

Für a = 3 :      

Daraus folgt: 2 < e < 3

Es wird also vorausgesetzt:

Es sei nun e^x-1=k (siehe nebenstehende Skizze)

und k = n^-1 mit  , also

| (Kehrwertbildung)

                 | k eingesetzt

              | n^-1 eingesetzt, da gilt

das heißt: mit für

    da

also ist

Wenn man dies numerisch ausrechnet, nähert man sich mit immer größer werdendem n der Zahl e 2,71828 an.

Laut Formelsammlung[1] gilt ebenfalls :

Funktionsmerkmale und physikalisch relevante Eigenschaften

Die Funktion ist streng monoton steigend und überall differenzierbar, daher auch stetig.

Der Graph der Funktion besitzt weder Extrema noch Wendepunkte, da und immer positiv sind. Hieraus folgt außerdem die Linkskrümmung des Graphen.

;

Bei Annäherung an die Definitionsränder stellt die x-Achse für negative x-Werte eine waagrechte Asymptote dar. Für positive x-Werte geht die Funktion gegen +.

Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktion für die Physik ist, dass ihre Ableitung gleich der Stammfunktion entspricht, wie in Kapitel 1.1. bereits näher erläutert. Vor allem beim Suchen einer Funktion zum Lösen von Differenzialgleichungen, wie bei den Funktionen sin(x) und cos(x), wird diese Eigenschaft gebraucht.

Eine weitere wichtige Tatsache liegt darin, dass die Umkehrfunktion des Logarithmus naturalis, ln(x)^-1 für t gleich der Exponentialfunktion ist. Daher gilt auch .
Praktische Anwendungen

Die Aufladung des Kondensators

Theoretische Herleitung

Betrachtet man folgende Gleichungen genau, kommt man zu dem Schluss, dass die Entladung des Kondensators eine exponentielle Funktion sein müsste.

Allgemein gilt:

  ; ;

                       | Ableitung nach t

                          | mit

Lösungsansatz:

| durch Ableiten nach t ergibt sich c=0

Zur Zeit t=0 gilt:

also gilt die Exponentialfunktion:

In der physikalischen Formelsammlung[2] [PO1] ist dieses Ergebnis ebenfalls bestätigt.

Praktische Bestätigung durch Versuche

2.1.2.1. Versuchsaufbau

Für den praktischen Versuch wird folgende Schaltung verwendet:

Skizze 1

Die Stromquelle U wird mit konstant 20V betrieben, welche mit dem Messgerät U_m überprüft wird. Anschließend ist ein Kondensator der Kapazität C befestigt. Für die Messungen werden Kapazitäten von 1 µF, 2 µF und 40µF verwendet. An S ist ein Schalter angebracht um I₀ feststellen zu können und einen einfacheren Start des Versuches zu ermöglichen. An der Stelle R wird ein Widerstand mit entweder 1M oder 10 M eingebaut. Die Stromstärke wird mit einen x-t-Schreiber gemessen, der den exponentialen Abfall des Stroms und die dabei verstreichende Zeit als x-y Diagramm aufzeichnet. Sein Eingangswiderstand ist R_S=1 M. Der Widerstand der Reihenschaltung von R und dem Schreiber wird mit R_ges bezeichnet. Dabei gilt: R_ges=R+R_S.

Die Spannung, die an R anliegt, liegt nach dem Gesetz der Spannungsverteilung an Parallelschaltungen auch am Schreiber an. Aus = const. folgt, das I ~ U. Gleichzeitig gilt auch und somit Q ~ U. Leitet man die Gleichung ab, kommt man auf . Es muss also gelten: und daher auch . Dies ist eine Übereinstimmung mit dem Ableitungsgesetz der Exponentialfunktion.

2.1.2.2. Versuchsdurchführung

Um die Aufladung eines Kondensators zu ermitteln, legt man eine Gleichspannung U an den Stromkreis an und startet den x-y-Schreiber, der fortan aufzeichnet. Nach Umlegen des Schalters S wird der Kondensator der Kapazität C in den Stromkreis geschlossen. Der Stromkreis ist nun vollständig mit dem Kondensator, dem Stromstärkemessgerät I_m, dem Spannungsmessgerät U_m sowie dem Widerstand R geschlossen.

2.1.2.3. Versuchsergebnis

Nach Starten des Ladevorgangs und somit des Versuches erkennt man sofort einen rapiden Abfall der Stromstärke I, wobei die Stromabnahme pro Zeiteinheit stets kleiner wird. Das hängt damit zusammen, dass anfangs viele Ladungen auf den Kondensator treffen[PO2] . Je mehr Ladungen sich jedoch auf den Kondensatorplatten befinden, desto größer wird deren gegenseitige Abstoßung und umso weniger Ladungen können noch auf die Platten fließen.

Mit dem Widerstand R lässt sich Ablaufgeschwindigkeit bestimmen. Je hochohmiger der Widerstand ist, desto mehr Strom wird an R "verheizt" und desto länger dauert es, bis sich der Kondensator voll aufgeladen hat. Verkleinert man die Kapazität, so wird die Aufladezeit geringer, denn der Kondensator kann nicht mehr so viele Ladungen aufnehmen. Es wird dabei vorausgesetzt, dass die angelegte Spannung konstant bleibt.

Anhand von sechs Messungen, bei denen jeweils die Kapazität, der Gesamtwiderstand oder auch beides verändert wird, wurde die experimentelle Überprüfung durchgeführt.

Zu dem sechs Messungen wurden jeweils die theoretisch errechneten Idealkurven nach , als Kurve einer linearen und einer logarithmischen Y-Achse hinzugefügt.

2.1.2.4. Abbildungen

Die Messprotokolle und die graphische Darstellung in logarithmischer und linearer y-Achse der Ergebnisse sind im sind im Anhang zu finden. Dabei konnten die Theorie durch Experimente bestätigt werden, da bei den meisten Messungen die Versuchsergebnisse nahe der theoretisch berechneten Idealkurve liegen.

Besonders bei den Abbildungen der Messungen 8 und 9 auf den Seiten 47 bis 54, welche mit einen 40µF Kondensator gemessen wurden, erkennt man eine extrem hohe Genauigkeit mit Abweichungen von teilweise unter 1%! In der logarithmischen Skala wird dies erneut deutlich. Bei Messung 8 erkennt man auf der logarithmischen Skala gegen Ende allerdings vereinzelt Abweichungen aufgrund der Ablesegenauigkeit von 0,5mm.

Die Messungen der Kondensatoren mit 1 und 2 µF weisen nicht diese extrem hohe Genauigkeit auf. Die Begründung liegt an den verwendeten Kondensatoren, welche, wie sich in 2.1.2.5.1. herausstellte, mit einem Fehler von teilweise über 30% im Gegensatz zu dem 40µF Kondensator sehr ungenau waren. Trotz dieses Fehlers erkennt man auf der logarithmischen Skala bei diesen Messungen stets eine gerade Linie, die den exponentiellen Charakter dieser Funktion nachweist.

2.1.2.5. Fehlerdiskussion

Im Versuchsaufbau kam es zu einer Reihe von Messfehlern. Dieses Kapitel gibt eine Zusammenfassung möglicher Messfehler inklusive ihrer Analyse zur Bestimmung der Messungenauigkeit.

Spezifizierung der gemachten Fehler

Innenwiderstand der verwendeten Kupferkabel

Die verwendeten 2m-Kupferkabel haben einen gemessenen Widerstand von etwa 0,3. Für den gesamten Messaufbau wurden insgesamt vier solcher Kabel verwendet. Im verwendeten Konstrukt (siehe Skizze 1) ergibt sich somit eigentlich ein Widerstand von , wobei R_K der Kabelwiderstand und R_ges der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung von R und R_S ist[3][PO3] . Die Differenz zwischen und liegt somit bei . Da wir hier mit Widerständen in den Größenordnungen von M rechnen, ist der durch Kabel erzeugte Widerstand zu vernachlässigen.

Kondensatorkapazität

Da die angegebene Genauigkeit der Kondensatoren bereits mit angegeben ist, sollte man hier unbedingt auf exaktere Messwerte zurückgreifen. Hier kam es zu ersten Schwierigkeiten, da eine Bestimmung über die Ladung/Entladung eines Kondensators und Messung der Zeit bis I < I_grenz nicht wirklich aufschlussreich wäre, wenn man die Genauigkeit eines eben solchen Versuches feststellen will. Ein Versuchsaufbau über die Messung der Eigenfrequenz im Schwingkreis würde keine ausreichende Messgenauigkeit bringen, da hier zu viele unzureichend genaue Faktoren wie z.B. die Induktivität L der Spule gegeben sind. Letztendlich kam ich zu dem Schluss, einen Versuchsaufbau über den Widerstand des Kondensators im Wechselstromkreis aufzubauen, um nach C bestimmen zu können. Die Messung des Widerstands und der Frequenz kam jedoch bei den in der Schule verfügbaren Frequenzgeneratoren zu Strömen in der Größenordnung von 10^-5 A bzw. 10^-3 A, je nachdem welcher Frequenzgenerator verwendet wurde. Da bei so niedrigen Strommengen kaum von einer hohen Messgenauigkeit ausgegangen werden kann, war diese Art der Lösung des Problems unter den gegebenen Umständen ausgeschlossen.

Als Alternative wurde ein voll integriertes Widerstandsmessgerät benutzt, bei dem man den Kondensator nur noch anschließen muss. Die Genauigkeit der gemessenen Ergebnisse ist laut Anleitung mit5% angegeben. Ich gehe allerdings davon aus, dass sie in Wirklichkeit deutlich ungenauer ist, da sich nur so die Ergebnisse der Messungen der 1 und 2 µF Kondensatoren erklären lassen, da alle anderen Faktoren konstant blieben oder auszuschließen sind, wie z.B. die Trägheit.

Es zeigten sich folgende Messergebnisse:

Für die Erstellung der idealen Graphen wurde die gemessene und nicht die angegebene Kondensatorkapazität verwendet

Trägheit des x-y-Schreibers

Da es sich hier um ein mechanisches, analoges Gerät handelt, muss man zwangsläufig mit einer gewissen Trägheit rechnen. Um diese zu messen, wird eine gemessene Rechteckspannung eines Funktionsgenerators angelegt, um die Grenzen des Geräts feststellen zu können. Es stellt sich heraus, dass selbst bei einer Frequenz von 1Hz und einer Schreibgeschwindigkeit von schnellen 2^s/_cm das Gerät nach wie vor genau arbeitet. Die Funktionsamplituden werden zwar nicht mehr fein herausgearbeitet, aber werden dennoch erreicht. Verringert man die Frequenz auf 0,5 oder 0,25 Hz, erkennt man eine deutlich sauberere Linie, welche die gleichen Maxima hat. Verwendet man anstelle der Zackenspannung eine Sinus-Wechselstromfunktion, erkennt man jedoch merklich die Messungenauigkeiten aufgrund von Trägheit. Wird die maximale Amplitude von 1,7 cm bei einer Skala von 1 V/cm noch bei 0,25 Hz und 0,5 Hz voll erreicht, erhält man bei einer Frequenz von 1 Hz nur noch 1,5 cm, bzw. 1,1 cm bei 2 Hz. Da diese Y-Anderungen während eines fixen Zeitraums t jedoch deutlich höher sind als die bei den Versuchen maximal erreichten , kann aufgrund von Trägheit nur mit einem sehr geringen Messfehler gerechnet werden. Die dazugehörigen Graphen sind im Anhang unter den Seiten 56 und 57 zu finden.

Anzumerken sind hierbei Ungenauigkeiten des Frequenzgenerators bei Frequenzen unter 0,5 Hz. Während größere Frequenzen mit einem Fehler von unter 1,5% erreicht werden, kommt es im Niederfrequenzbereich zu Fehlern von z.B. 45% bei 0,1 Hz. Da dieser Fehler allerdings konstant ist, d.h. es wird immer genau der gleiche Fehler gemacht, ist dieser Fehler zu vernachlässigen.

x/t-Achse

Um die Genauigkeit der Angaben der Zeitachse des Schreibers zu überprüfen, wird eine Art "Rennstrecke" von 10 cm Länge gebaut, bei der die Durchlaufzeit T mit einer Sportstoppuhr gemessen wird. Die Abweichungen von der angegebenen Zeit liegen stets unter 1,1%. Die genauen Zeiten sowie die Messungen sind im Anhang auf Seite 55 zu finden.

Widerstände

Die hier verwendeten Widerstände von 1 und 10 haben eine gemessene Ungenauigkeit von 0,5% bzw. nur 0,1% bei dem 10 Widerstand. Das Rechnen mit den angegebenen Werten verursacht also lediglich einen sehr geringen Fehler.

Linearität der y/I-Achse

Um festzustellen, ob der analoge Schreiber einen linearen Spannungsanstieg auch als solchen anzeigt und es sich somit nicht um eine ungenau geeichte y-Achse handelt, wird eine per Oszillograph gemessene ideale Sägezahnspannung niedriger Frequenz angelegt. Die im Anhang auf Seite 58 dargelegte Messung zeigt eine Abweichung von durchschnittlich 1,7mm von der idealen Gerade bei einer Länge von 12,8 cm. Das ergibt einen Winkel von 0,71 Grad, was einer Ungenauigkeit von etwa 0,8 % entspricht.

Kapazitätsentladung nach einem Messdurchgang

Da ein gleicher Kondensator immer wieder in Folge für Messungen mit verschiedenen Widerständen verwendet wird, ist es möglich, dass er immer noch teilweise vom vorhergehenden Versuch geladen ist, bevor er für eine neue Messung verwendet wird. Um diesen Effekt zu minimieren, wird er immer vor einer Messung direkt an einen niederohmigen Wiederstand angeschlossen, um mit einem vollständig ungeladenen Kondensator starten zu können.

Ablese-/Übertragungsfehler

Die Messergebnisse sind auf Papier aufgezeichnet und somit nicht als digitaler Input verfügbar, wie z.B. bei Verwendung des CASSY. Es wird zwar so sorgfältig wie möglich gemessen, doch durch die Konvertierung ergibt sich trotzdem ein Ablesefehler von max. 0,5 mm der x- und y- Werte.

Schräglage des Messblattes

Bei dem Einlegen des Blattes in den x-y-Schreiber ist darauf zu achten, dass es zu keiner Schräglage des Blattes kommt, da sonst mit fortschreitender Zeit ein immer größerer y-Fehler zustande kommt. Deutlich wird das z.B. bei den Messungen 3^[4] und 4 . Beide Graphen sind, wenn man sie übereinander legt, 100%ig identisch, aber bei Messung 3 wurde das Blatt nicht exakt eingelegt, somit ist die x-Achse nicht gerade und es kommt zu Messfehlern. Aufgrund dieser Fehler taucht Messung 3 auch nicht in den Abbildungen in 2.1.2.4. auf.

Analyse der Fehlerart

Statistische Fehler

Man kann bei so einem Versuchsaufbau davon ausgehen, dass es kaum statistische Fehler gibt, da es keine Faktoren gibt, die in irgend einer Art zufällig reagieren. Um dies zu bestätigen, wurden mehrmals Messungen mit den gleichen Voraussetzungen gemacht, wie z.B. bei den Messungen 3⁴ und 4⁵. Legt man die zwei Originale übereinander und hält sie gegen das Licht, erkennt man, dass sie sich 100%ig überlappen.

Systematischer Fehler

Folglich sind alle oben erwähnten Fehler systematisch.

2.1.2.5.3. Fehlerrechnung

Eine übliche Fehlerrechnung, also eine Summierung der Fehler als Quadrat oder Linear und daraus die Bestimmung des mittleren Fehlers, wäre in diesem Fall nicht sinnvoll, da wir hier kaum stochastische Fehler haben. Die aus den Versuchen hervorgegangene Kurve ist genauso eine weitgehend ideale e-Funktion, die aber stets über oder unter der Idealkurve liegt.

Als Alternative habe ich den maximal möglichen Fehler pro Funktionswert ausgerechnet, um somit die maximal gültige Abweichung auszurechnen.

Fassen wir noch einmal alle in 2.1.2.5.1. spezifizierten Fehler mit ihrer Genauigkeit zusammen:

Weiterhin wird davon ausgegangen, dass alle möglichen Fehlerquellen voneinander unabhängig sind und dass es zu keiner Fehlersummierung mit fortschreitender Zeit kommt.

Wir erhalten also als Folge eine Abweichung für einen Funktionswert unserer Funktion von einer oberen und unteren Abweichungsgrenze A(t):

mit S₁ = x-Faktor, also der Umrechnungsfaktor der x-Skala von cm in s, z.B. 5 s/cm

und = maximale I-Amplitude in cm.

Die errechnete Abweichung pro Funktionswert ist als y-Fehlerindikator in den Diagrammen des Anhangs ersichtlich. Es wurde kein x-Fehlerindikator hinzugefügt, da der maximale x-Fehler in A(t) bereits hereingerechnet wurde.

Als Ergebnis zeigt sich allerdings, dass die Messungen mit 1 und 2 µF bereits ab dem dritten Messpunkt außerhalb der errechneten Fehlertoleranz liegen. Der Grund dafür liegt wahrscheinlich zum einen in einer Fehlersummierung mit fortschreitender Zeit, die bei der Erstellung der Funktion zur Errechnung der Abweichungsgrenze ausgeschlossen wurde, zum anderen aber auch in der 2.1.2.4. und 2.1.2.5.1. erwähnten Ungenauigkeit der 1 und 2 µF Kondensatoren, welche wahrscheinlich über den angegebenen 5% liegt.

Die Entladung des Kondensators

Theoretische Herleitung

Allgemein gilt:

                               | 0 da es sich um die Entladung handelt

mit und

                         | Ableitung nach t

                          | mit

Lösungsansatz:

| durch Ableiten ergibt sich c=0

Zur Zeit t=0 gilt:

also gilt die Exponentialfunktion:

Es ist auffällig, dass die Formel der Entladung bis auf das Vorzeichen von I₀ der Formel der Aufladung entspricht. Dies lässt sich dadurch erklären, dass der Kondensator zunächst maximalen Strom aufnehmen kann, bzw. abgeben kann. In beiden Fällen gilt: . Die Aufladung bzw. die Entladung geht dann in beiden Fällen exponentiell zurück. Die Geschwindigkeit wird durch R und C bestimmt. Da bei den jeweils sechs Messungen für die Aufladung und die Entladung immer gleiche Voraussetzungen herrschen, kann durch die gleichen Messergebnisse auch ein experimenteller Nachweis bestätigt werden.

Praktische Bestätigung durch Versuche

2.2.2.1. Versuchsaufbau

Für den praktischen Versuch wird folgende Schaltung verwendet:

Skizze 2

Die Stromquelle U wird mit konstant 20V betrieben, welche mit dem Messgerät U_m überprüft wurde. Anschließend ist ein Kondensator der Kapazität C befestigt. Für die Messungen werden Kapazitäten von 1 µF, 2 µF und 40µF verwendet. An S1 wird ein Schalter für die Messungen verwendet, um I₀ festzustellen. An S2 ist ein weiterer Schalter befestigt, um ein Ausschließen der Spannungsquelle und somit den Start der Entladung des Kondensators zu ermöglichen. An der Stelle R wird ein Widerstand mit entweder 1M oder 10 M eingebaut. Es werden also die gleichen Kondensatoren und Widerstände wie bei der Ladung verwendet. Die Stromstärke wird mit einem x-t-Schreiber gemessen, der den exponentiellen Abfall des Stroms und die dabei verstreichende Zeit als x-y Diagramm aufzeichnet. Sein Eingangswiderstand ist R_S=1M. Der Widerstand der Reihenschaltung von R und dem Schreiber wird wie bei der Aufladung mit R_ges bezeichnet.

2.2.2.2. Versuchsdurchführung

Um die Entladekurve eines Kondensators zu ermitteln, legt man eine Gleichspannung U an den Stromkreis an und achtet darauf, dass S1 und S2 so gestellt sind, dass es zu einer Ladung des Kondensators kommt. Nach einer möglichst langen Zeit schaltet man S1 um und startet den x-y-Schreiber, der fortan aufzeichnet. Gleich danach wird S1 ein weiteres Mal umgelegt und ist somit auf Kondensator laden. Die jetzt gemessene Stromstärke sollte gleich 0 sein, da die Stromstärke bei der Ladung des Kondensators nach einer sehr großen Zeit gegen 0 geht. Jetzt wird der Schalter S2 betätigt und es kommt zu einer Entladung des Kondensators, da die Stromquelle ausgeschlossen wurde.

2.2.2.3. Versuchsergebnis

Nach Starten des Versuches erkennt man sofort einen Anstieg der Stromstärke I, da der Kondensator nun als Stromquelle dient und sich über den Widerstand R entlädt. Zunächst erfolgt die Entladung sehr schnell, da sich die vielen gleichen Ladungen auf den Kondensatorplatten stark abstoßen. Die Abstoßung nimmt aber mit der Zeit ab. Deshalb geht der Ausschlag des I-Messgerätes allmählich zurück. Da sich die Stromabnahme pro Zeiteinheit mit fortschreitender Zeit verkleinert, wird angenommen, dass sich der Kondensator exponentiell entlädt. Zusammenfassend kann man sagen, dass man weitgehend das gleiche Bild wie bei der Ladung der Kondensatoren erhält - nur mit entgegengesetzter Stromrichtung.

Zu den sechs Messungen wurden jeweils die theoretisch errechneten Idealkurven nach als Kurve einer linearen und einer logarithmischen Y-Achse hinzugefügt.

2.2.2.4. Abbildungen

Die Messprotokolle und die graphische Darstellung in logarithmischer und linearer y-Achse der Ergebnisse sind im sind im Anhang auf den Seiten 60 bis 83 zu finden. Dabei konnten die Theorie durch Experimente bestätigt werden, da bei den meisten Messungen liegen die Versuchsergebnisse nahe der theoretisch berechneten Idealkurve.

Auffallend ist allerdings das die Genauigkeit unter der bei der Ladung erzielten liegt. Besonders bei den Messungen 8[6] und 11 , welche mit einen 40µF Kondensator gemessen wurden, hat man bei dem ersten Punkt eine sehr hohe Abweichung von der Idealkurve, auf dessen Gründe in der Fehlerdiskussion näher eingegangen wird. Auf der logarithmischen Skala relativiert sich der Fehler, da man hier trotzdem eine weitgehend ideale gerade Line hat, welche auf den exponentiellen Charakter schließen lässt.

2.2.2.5. Fehlerdiskussion

Da für die Entladung des Kondensators weitgehend gleiche Vorraussetzungen wie für die Ladung gelten, kann die Fehlerdiskussion vollständig aus 2.1.2.5. übernommen werden.

Lediglich hinzuzufügen ist die Ungenauigkeit wegen eines nicht vollständig geladenen Kondensators zu Beginn des Versuches. Da man für eine ideale Kurve vor dem Versuch t gegen gehen lassen müsste, wurde lediglich immer nur mit einem fast vollständig geladenen Kondensator gearbeitet. Der Unterschied zwischen I=0 und ist jeweils am Messbeginn der im Anhang einsehbaren Originalmessungen nach der Beschreibung von 2.2.2.1 und 2.2.2.2 ersichtlich. Der maximale Unterschied ist meistens allerdings relativ gering im Vergleich zur Amplitude. Einzig bei den Messungen mit einem 40µF Kondensator wurde unzureichend auf die vollständige Ladung zu Versuchsbeginn geachtet. Als Folge ist der erste Messpunkt stark nach untern verschoben.

Energieaustausch beim Abkühlen von Flüssigkeiten

Ein weiteres Beispiel für einen exponentiell ablaufenden Vorgang ist der Energieaustausch beim Abkühlen einer Flüssigkeit. Eine Flüssigkeit, die eine bestimmte Temperaturdifferenz gegenüber dem ihr umgebenden Material hat, gibt ihre Energie (Wärme) an dieses ab. Je größer diese Temperaturdifferenz ist, desto mehr Energieaustausch findet pro Zeiteinheit statt, was dem Abkühlen der Flüssigkeit entspricht. Daher lässt sich auch vermuten, dass die Temperaturabnahme auch exponentiell verläuft. Die Größe des Energieaustausches hängt unter anderem noch von der Isolation gegen die Umgebung ab, sowie von der Art der Flüssigkeit. Je besser die Flüssigkeit isoliert ist, desto länger dauert der Energieaustausch. Verschiedene Flüssigkeiten speichern ihre Energie unterschiedlich lange, so kühlt sich z.B. Wasser schneller ab als Öl. Dies wird durch den Faktor der Wärmekapazität ausgedrückt.

Besitzt die eingeschlossene Flüssigkeit eine niedrigere Temperatur als ihre Umgebung, so findet der Energieaustausch ebenso exponentiell statt, nur erwärmt sie sich jetzt.

Theoretische Herleitung

Anfangstemperatur:               T₁

Außentemperatur:                  T₂

Temperaturunterschied:                   

Die Begründung liegt in der von der Temperatur abhängigen Molekularbewegung der H₂O Teilchen, welche ihre Energie an die umliegenden Atome abgeben. Die abgegebene Energie ist hierbei abhängig von der Energiedifferenz der Teilchen. Die Energie der Teilchen ist wiederum abhängig von ihrer Temperatur. Am Anfang haben die Moleküle eine sehr hohe Energie und geben deswegen entsprechend viel ab. Nach und nach sinkt also ihre Energie, und sie können folglich nur noch weniger Energie, bzw. Temperatur pro Zeiteinheit abgeben.

Daraus lässt sich die Hypothese ableiten, dass die Anderung des Temperaturunterschiedes direkt proportional zum Temperaturunterschied ist. Beispiel: Ist der Temperaturunterschied groß, so ist auch die Temperaturänderung im Zeitintervall t groß.

, bzw.

Lösungsansatz:

da muss sein.

                          | k darf nicht 0 sein, da sonst immer 0 ist

also

Zur Zeit gilt

also gilt die Exponentialfunktion:

a ist somit ein Indikator für den Energieaustausch, der durch Faktoren wie Isolierung und verwendete Flüssigkeiten definiert wird. Da es sich bei der Abkühlung um einen Abfall handelt, ist der Wert negativ.

Praktische Bestätigung durch Versuche

2.3.2.1. Versuchsaufbau

Für die praktische Durchführung wird die folgende Versuchsanordnung verwendet:

Die verwendete Flüssigkeit ist destilliertes Wasser. Für den Versuch könnte aber genauso jede beliebige andere Flüssigkeit hergenommen werden. Weiterhin benötigt man eine Möglichkeit, um Wasser auf T₁ zu erhitzen. Als Deckel verwendet man Styropor, das durch seine Materialeigenschaften und die Möglichkeit, ein genau für das Thermometer ausreichend großes Loch hineinzustanzen, eine sehr gute Isolation erreicht.

2.3.2.2. Versuchsdurchführung

Zunächst wird das Wasser in einem getrennten Behälter zum Sieden gebracht und in den Messbecher geschüttet, welcher anschließend verschlossen wird. Anschließend wird die Temperatur T₁ = 85° C durch das Thermometer in der Mitte des Bechers gemessen. In einem Intervall von 10 Minuten werden die Temperaturen in ein Temp-t-Diagramm eingetragen. Weiterhin wird die Umgebungstemperatur T₂ = 22° C gemessen.

2.3.2.3. Versuchsergebnis

Der aus den Messwerten entstandene Graph stellt wie erwartet eine e-Funktion dar. Die entnommenen Werte sowie der dazugehörige Graph ist in 2.3.2.4. einsehbar. Der Faktor a aus der Formel wurde zu a = -0,0175 s^-1 bestimmt. Die Standardabweichung beträgt lediglich 0,0025. Diese hohe Genauigkeit wird durch die geringe Abweichung zwischen der gemessen und der idealen Kurve aus 2.3.2.4. verdeutlicht. Die ideale Kurve ist anhand des mittleren Werts von a theoretisch errechnet.

Es zeigte sich also, dass die Hypothese aus 2.3.1. richtig ist.

Abbildungen

2.3.2.5. Fehlerdiskussion

Die Fehlerdiskussion des Energieaustausches wird aus Umfangsgründen nicht so genau ausgeführt wie bei der Ladung / Entladung des Kondensators. Weiterhin wird keine Fehlerrechnung durchgeführt.

Im folgenden die relevanten Messungenauigkeiten:

Genauigkeit des Temperaturmessgerätes

Verwendet wird ein handelsübliches Quecksilberthermometer mit einem Messbereich von -10 °C bis +150 °C. Die exakte Genauigkeit ist nicht näher festgestellt und überprüft worden. Es ist aber davon auszugehen, dass sie nicht über einer Abweichung von 2 % liegt. Bei dem erreichten Temperaturmaximum von 85 °C würde das einen Spielraum von 1,7° bedeutet. Weiterhin existiert eine gewisse Trägheit, welche allerdings in Anbetracht der langen Versuchsdauer von insgesamt 190 Minuten zu vernachlässigen ist. Lediglich am Anfang des Versuchs, bei dem man eine maximale Temperaturänderung von etwa 1,5° pro Minute hat, kann es eventuell zu Messungenauigkeiten wegen Trägheit kommen.

Erwärmung des Messbehälters

Da das heiße Wasser in den kalten Messbecher geschüttet wird, kommt es anfangs zu einer Verfälschung der Kurve, da zuerst das Gefäß erwärmt werden muss. Glas hat eine andere Wärmeleitfähigkeit als Luft und sorgt deswegen am Anfang auch für einen überexponential starken Temperaturabfall, was auch anhand der Messwerte bestätigt wird.

Erwärmung der Umgebung

Der beschriebene Versuch ist eigentlich ein Temperaturaustausch mit einer Erwärmung auf der einen und einer Abkühlung auf der anderen Seite. Durch die Tatsache, dass die Temperaturaufnahmefähigkeit der Umgebung sehr viel größer ist als die der Flüssigkeit, kommt es zu praktisch keiner Temperaturänderung der Umgebung. Die Anderung von T₂ während des Versuchs ist also zu vernachlässigen.

Ablesegenauigkeit

Die maximale Ablesegenauigkeit liegt bei etwa 0,5 °. Der kleinste Schritt ist deswegen auch 1°. Vor allem gegen Ende des Versuchs kommt es dadurch zu einer Verfälschung der Messergebnisse, was bei t=180 und t=190 erkennbar ist. Zu beiden Zeiten wird der gleiche Messwert von T=26 °C festgestellt.

Verunreinigungen des Messbehälters

Verunreinigungen des Messbehälters sind zu vernachlässigen, da sie nur die absoluten Werte, nicht aber die e-Kurve verändern.

Lücken der Isolation

Lücken der Isolation sind zu vernachlässigen, da sich dadurch lediglich ein anderer Wert für a ergibt.

Bierschaumzerfall

Eines der greifbarsten Experimente für Schüler, welches mir sehr viel Spaß bereitet hat, ist wahrscheinlich der Bierschaumzerfall - denn auch er ist streng nach einer Exponentialfunktion definiert.

Nach dem Einschenken von Bier in ein Gefäß bildet sich zwangsläufig Bierschaum, wenn es sich beim Einschenker nicht gerade um einen erfahrenen Biertrinker handelt. Nach und nach setzt sich dieser ab und der Bierpegel steigt. Anfangs steigt er noch rapide an, aber gegen Ende kommt es kaum noch zu einem Wachstum des Bieres bzw. zu Zerfall des Schaums. Die Geschwindigkeit des Zerfalls hängt von der verwendeten Biersorte, aber auch von Umgebungseigenschaften wie Temperatur, Druck und dem Verunreinigungsgrad des Messbecher ab.

Theoretische Herleitung

Der Bierschaumzerfall und der damit direkt zusammenhängende Anstieg des Bierpegels hängt von der Lebensdauer der einzelnen Schaumblasen ab. Sobald eine Blase zerplatzt, kommt es zu einer Umwandlung der überwiegend aus Kohlensäure bestehenden Blasen zu Bier. Betrachtet man den Bierschaum als eine Summe aus n Blasen, platzt pro Zeiteinheit immer ein gewisser prozentualer Anteil der Blasen. Dieser prozentualer Anteil ist abhängig von der konstanten durchschnittliche Halbwertszeit der n Blasen. Die Anzahl der zerplatzen Blasen pro Zeiteinheit ist folglich direkt proportional zu der Anzahl der Blasen. Über den Ansatz mit der Halbwertszeit der Blasen kann man Parallelen zum Zerfallsgesetz von radioaktiven Atomen herstellen, da der Zerfall der Blasen den gleichen Regeln folgt wie der radioaktive Zerfall von Atomen.

"Die Zahl der im Zeitabschnitt t zerfallenen Atome N(t) ist direkt proportional zu dem Zeitabschnitt t und zur Zahl N(t) der noch unzerfallenen Atome"[8][PO4] 

Lösungsansatz:

| gilt für alle

                           | da

                              | k darf nicht 0 sein, da sonst immer 0 ist

Zur Zeit gilt:

Somit

Übertragen auf den Bierschaumzerfall ist diese Formel eine Gleichung zur Berechnung der Anzahl der Schaumteilchen nach einem Zeitabstand t. Die Höhe des Bierpegels ist proportional zu . Hier gilt:

, bzw. aufgelöst

Für sehr große t gilt

Zum Zeitpunkt gilt

Somit ist

also gilt die Exponentialfunktion:

Praktische Bestätigung durch Versuche

2.4.2.1. Versuchsaufbau

Für die praktische Durchführung wird die folgende Versuchsanordnung verwendet:

Skizze 4

Als Gefäß wird ein Messzylinder mit einem Durchmesser von etwa 4 cm und einer Höhe von ca. 40 cm verwendet. An seiner Außenhülle ist eine Skala zur Volumenmessung in Abständen von 0,1 Volumeneinheiten angebracht. Da die Höhe des Bierpegels direkt proportional zum Volumen ist, kann man anhand der Höhe direkt das Versuchsergebnis ablesen. Um Verunreinigungen, z.B. Spülmittel (Fett) an den Wänden auszuschließen, wird der Behälter mit Wasser ausgespült. Als Bier wurde ein Helles der Sorte ,Bayerisch Hell' auserkoren. Um sehr akkurate Messwerte gewährleisten zu können, wird eine Person nur der Messung und Aufzeichnung der Werte zugeteilt, während die andere immer die Zeiten, zu denen gemessen werden soll, ansagt.

2.4.2.2. Versuchsdurchführung

Zunächst wird das Bier leicht geschüttelt und anschließend senkrecht in den Messzylinder geschüttet, um eine möglichst hohe Schaumbildung zu gewährleisten. Es wird also nicht, wie sonst beim Einschenken üblich, auf eine schräge Oberfläche gegossen. Sofort nach dem vollständigen Einschenken wird die Stoppuhr gestartet und erste Messwerte werden notiert. In einem Intervall von t = 30 Sekunden bzw. bei dem 2. Versuch t = 10 Sekunden wird nun die Höhe des Bierpegels gemessen. Die Höhe des Schaums ist für die Aufnahme der Messwerte also irrelevant.

2.4.2.3. Versuchsergebnis

Der aus den Messwerten entstandene Graph stellt wie erwartet eine e-Funktion dar. Die entnommenen Werte sowie der dazugehörige Graph sind in 2.4.2.4. einsehbar. Als der Funktion H(t) erhält man einen Durchschnittswert über beide Messungen von 0,02635. Der Unterschied des Durchschnitts von beider Messungen ist im Rahmen der Messgenauigkeit tolerierbar. Die Vergleichskurve, errechnet anhand des Mittelwerts von und somit ideale e-Funktion, ist, wie man sieht, weitgehend deckungsgleich mit der aus Messwerten gewonnenen Kurve. Diese hohe Genauigkeit war kaum zu erwarten. Der Wert für H_max ist unter t = bei der Wertetabelle angegeben und geschätzt.

2.4.2.4. Dazugehörige Abbildungen

Messung 1: t =0,5 min

Messung 2: t =10 sek

2.3.2.5. Fehlerdiskussion

Wie bei den Versuchen zum Temperaturaustausch wird bei der Fehlerdiskussion aus Umfangsgründen nicht so sehr ins Detail gegangen.

Ablesegenauigkeit

Die maximale Ablesegenauigkeit liegt bei etwa 0,25cm. Vor allem gegen Ende können die nur noch minimalen Anderungen kaum noch erfasst werden, deswegen kommt es z.B. bei Messung 1 bei t = 80s und bei t = 90s zum gleichen Messwert.

Verunreinigungen des Messbehälters

Hierbei wurde darauf geachtet, dass möglichst kein Fett an den Wänden ist. Eine dünne Fettschicht würde die Blasenbildung sehr stark verhindern, so dass es nur noch zu einer geringen maximalen Schaumhöhe und damit nur noch zu geringen Anderungen der Höhe des Bierpegels kommt.

Mängel in dem Ansatz

Die Behauptung, dass es eine konstante durchschnittliche Halbwertszeit T der n Bläschen gibt, ist bei kritischer Betrachtung des Versuchs nur eingeschränkt richtig. Die Halbwertszeit hängt vermutlich von der Größe der Bläschen ab, d.h. große Bläschen haben eine niedrigere Halbwertszeit als kleinere. Am Anfang des Versuches hat man sehr viele große Blasen auf der Spitze der Schaumkrone, die folglich eine kürzere mittlere Dauer bis zu ihrer Zerplatzung haben, also hat man am Anfang einen stark exponentialen Abfall, was auch in Messung 1 sehr gut ersichtlich ist. Gegen Ende hat man überwiegend kleine Bläschen mit einer hohen Halbwertszeit und somit einen noch langsameren Verfall als erwartet.

Das Messergebnis von t = 10s der 2. Messung, welches überhaupt nicht zu der Vergleichskurve passt, ist wahrscheinlich auf einen Ablesefehler aufgrund der sehr geringen Zeit nach dem Einschenken zurückzuführen.

Ausblick:
Anwendungsmöglichkeiten im täglichen Leben

Abschließend ist zu sagen, dass sich die Exponentialfunktion in der Physik keineswegs auf die hier angeführten Beispiele beschränkt, sondern ein weitaus größeres Feld einnimmt. Auch in anderen Bereichen der Physik spielt die Exponentialfunktion eine Rolle. Vor allem in der Optik und Spektralanalyse treten einige Erscheinungen auf die exponentiellen Charakter haben. Diese Facharbeit bietet also lediglich einen kleinen Einblick, nach welcher Art und Weise physikalische Vorgänge ablaufen können.

Die e-Funktion ist des Weiteren nicht nur auf die Physik beschränkt, sondern umfasst ebenfalls ganz andere Bereiche des täglichen Lebens. So ist sie z.B. in der Biologie einsetzbar. Das Wachstum von Bakterien verläuft daher nach [9].

Analog ist es auch im Bereich der Statistik mit dem Bevölkerungswachstum. Will man hier allerdings genauere Ergebnisse erzielen kommt man auf sehr komplexe Formeln, da man Faktoren wie Sättigungsgrenzen etc. beachten muss. Die Basis bildet allerdings nach wie vor wie natürliche Exponentialfunktion.[10]

Ein weiteres Einsatzgebiet, und für die meisten wohl das relevanteste, ist die Zinsberechnung in der Finanzmathematik - denn auch Geld vermehrt sich exponentiell :)

Anhang

Anbei sind alle Messwerte die für die Ladung und Entladung des Kondensators verwendet worden sowie deren Aufarbeitung in Form von Graphen in linearer und logarithmischer y-Achse und die original Messblätter des x-y-Schreibers.

Jedem Graph ein Fehlerindikator nach der Funktion A(t)[11] hinzugefügt worden.

Inhaltsverzeichnis:

Messergebnisse und Graphen zur Ladung eines Kondensators Seiten 31 bis 54

Dazugehörige Graphen zur Fehlerrechnung        Seiten 55 bis 58

Nicht verwendete Graphen zur Ladung eines Kondensators                 Seite 59

Messergebnisse und Graphen zur Entladung eines Kondensators Seiten 60 bis 83

Nicht verwendete Graphen zur Entladung eines Kondensators            Seiten 84 bis 88

Literaturverzeichnis                                 Seite 89