Kurze Einführung in die elementare Mathematik

Mathematische Hilfsmittel

Grundlagen der Aussagenlogik

Gegenstand mathematischer Betrachtungen sind Aussagen. Die aussagenlogischen Konstanten dienen dazu, Aussageformen zu neuen Aussageformen zu verknüpfen.

Verknüpfungen

Die "Und"-Verknüpfung (Konjunktion)

Symbol der "Und"-Verknüpfung:

Die beiden Aussageformen "2 teilt x; 3 teilt x" werden durch "Und" zusammengefaßt zu der einen Aussageform "2 teilt x und 3 teilt x."

Die Konjunktion zweier Aussagen ist wieder eine Aussage, und sie ist genau dann wahr, wenn jede der beiden durch "Und"-verknüpften Komponenten wahr ist.

Tabelle 1 Wahrheitstafel der "Und"-Verknüpfung

Die "Oder"-Verknüpfung (Alternative)

Symbol der "Oder"-Verknüpfung:

Während das umgangssprachliche "Oder" verschiedene Bedeutungen hat, verwendet man in der Mathematik das "Oder" meist im Sinne des lateinischen "vel" als nichtausschließendes "Oder", z.B., wenn man sagt:

Eine Alternative ist genau dann wahr, wenn wenigstens eine ihrer Komponenten wahr ist:

Tabelle 2 Wahrheitstafel der "Oder"-Verknüpfung

Die "Entweder-Oder"-Verknüpfung (Disjunktion)

Symbol der "Entweder-Oder"-Verknüpfung:

Die "Entweder-Oder"-Verknüpfung soll an Hand eines kleinen Schaltbildes verdeutlicht werden:

Die Disjunktion ist genau dann wahr, wenn ein Schalter oben und ein Schalter unten steht (Leuchten der Glühlampe). 'Entweder' ist S1 oben (wahr) und S2 unten (falsch), "Oder" S1 ist unten (falsch) und S2 oben (wahr).

Tabelle 3 Wahrheitstafel der "Entweder-Oder"-Verknüpfung

Die "Nicht"-Verknüpfung (Negation)

Symbol der "Nicht"-Verknüpfung:

Bei nichtklassischen Auffassungen wird die Negation entweder überhaupt nicht zugelassen, oder je nach dem eingenommenen Standpunkt interpretiert. Wenn man die Negation zuläßt, geschieht das immer derart, daß nie zugleich eine Aussage und ihre Negation anerkannt werden. Im klassischen Fall der zweiwertigen Logik folgt daraus, daß "nicht" den Wahrheitswert umkehrt (negiert).

Tabelle 4 Wahrheitstafel der "Nicht"-Verknüpfung

Die "Wenn-So"-Verknüpfung (Implikation)

Symbol der "Wenn-So"-Verknüpfung: T

Gelesen: Wenn A so B (ATB). Andere Aussageformen sind "Wenn A, dann B" oder "Aus A folgt B"

B gilt, wenn A gilt

A ist hinreichend für B

B ist notwendig für A

A kann nur gelten, wenn B Gilt

Wenn A falsch ist, wird nichts ausgesagt.

Gegenüber den anderen Verknüpfungen hat die "Wenn-So"-Verknüpfung keinen inneren Zusammenhang.

Tabelle 5 Wahrheitstafel der "Wenn-So"-Verknüpfung

Aus etwas Wahrem folgt also immer etwas Wahres!

Aus etwas Falschem kann etwas Wahres oder Falsches folgen!

Für (A,B,C) = (f,w,f) folgt daher:  (ATB)TC AT(BTC)

Die Aquivalenz

Symbol der Aquivalenz:

Die Aquivalenz ("Genau dann, wenn") läßt sich als Konjunktion reziproker Implikationen auffassen: A gilt dann und nur dann, wenn B gilt.

Es existieren folgende Sprechweisen für die Aquivalenz A B:

a) "genau wenn A, so B" oder

b) "dann und nur dann, wenn A, so B" oder

c) "aus A folgt B und umgekehrt".

Beispiele:

(A B) A B)

(A B) A B)

(ATB) A B)

(ATB) BT B)

Mengen

Der Mengenbegriff

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen (Cantor). Diese Objekte werden die Elemente der Dinge genannt.

x I A wird gelesen als x ist Element von A

y A wird gelesen als y ist nicht Element von A

Soll eine Menge aus den endlich oder unendlich vielen Elementen a,b,c, gebildet werden, so bezeichnet man sie mit .

Ist a Element der Menge A, so wird das durch a I A symbolisiert.

Die Definition schließt nicht aus, daß die Menge nur aus einem Element besteht. A=.

Die leere Menge enthält kein Element. Sie wird mit dem Symbol bzw. bezeichnet.

Relationen zwischen Mengen

Gleichheit von Mengen

Eine Menge A ist gleich einer Menge B, in Zeichen A=B, wenn jedes Element von A auch Element von B und umgekehrt jedes Element von B auch Element von A ist.

Teilmenge, Restmenge

Eine Menge A ist in einer Menge B enthalten, in Zeichen A B, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B ist. A heißt dann Untermenge oder Teilmenge von B.

Ist A B, spricht man auch von einer echten Teilmenge (A B).

Ist A=B, spricht man von einer unechten Teilmenge (A B).

Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

Ist A eine echte Teilmenge von B, so nennt man die Menge der Elemente von B, die A nicht angehören, die Restmenge R von B zu A (oder die zu A komplementäre Menge von B), in Zeichen R=B-A.

Zu jeder Menge von n Elementen gibt es genau 2ⁿ Untermengen.[5]

Ist eine Menge A in einer Menge B, enthalten und die Menge B Teilmenge einer Menge C, so ist auch A Teilmenge von C: A A B und B C T A C

Operationen mit Mengen

Vereinigungsmenge

Unter der Vereinigungsmenge A B der beiden Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu A und B gehören.[7] Es gilt daher:

Aus der vorstehenden Definition folgt, daß für die Vereinigung von Mengen die aus der elementaren Arithmetik bekannten Gesetze gelten:

Beispiele:

a) A sei die Menge aller durch 5 teilbaren Zahlen, die kleiner als 25 sind. B sei die Menge aller durch 7 teilbaren Zahlen, die kleiner als 35 sind. Es gilt dann A B=

b) A sei die Menge aller Quadrate. B sei die Menge Aller Dreiecke. A B ist dann die Menge aller Quadrate und Dreiecke.

Durchschnitt

Unter dem Durchschnitt A B[8] der beiden Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.[9] Es gilt daher:

Für die Bildung des Durchschnitts gelten die folgenden Gesetze:

Wenn die Mengen A und B kein gemeinsames Element enthalten, wenn also gilt A B= , nennt man derartige Mengen elementfremde oder disjunkte Mengen.

Beispiele:

a) A ist die Menge aller Rhomben. B ist die Menge aller Rechtecke. A B ist dann die Menge aller Quadrate.

b) A ist die Menge aller Rhomben. B ist die Menge aller Quadrate. Es gilt dann A B=B; denn alle Elemente von B gehören auch zu A.

Differenz

Unter der Differenz AB der beiden Mengen A und B man die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.[10]

Sind die Mengen A und B elementfremd, so stimmt die Differenz AB mit A überein und umgekehrt.

Auf jeden Fall aber gilt:

weil bei der Differenzbildung von A nur Elemente weggelassen werden, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Beispiel:

Aus A= und B= folgt AB=.

Produktmenge

Unter dem Mengenprodukt AxB der beiden Mengen A und B versteht man die Menge aller geordneten Elementpaare (a;b) mit aIA und bIB.[11]

Beispiel:

Aus A= und B= folgt AxB=

Potenzmenge

Die Potenzmenge A(A) der Menge A enthält als Elemente alle Untermengen von A. Besteht aus A aus n Elementen, so enthält A(A) insgesamt 2ⁿ Untermengen.

Beispiel:

Aus A= folgt A(A)={

Zusammenfassung

Zahlbereiche

Abbildung 5 Übersicht über die verschiedenen Zahlbereiche

Der Bereich der natürlichen Zahlen

Rechenoperationen im Bereich der natürlichen Zahlen

Den Operationen mit endlichen Mengen entsprechen Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen.

Addition

Die Elementezahl s der Vereinigungsmenge S der beiden elementfremden endlichen Mengen A und B mit den EIementezahlen a und b heißt Summe der beiden Zahlen a und b und wird durch a+b bezeichnet:

a und b heißen Summanden.

Die Rechnung heißt Addition.

Summe = Summand plus Summand.

Subtraktion

Ist für die beiden Zahlen a und b die Bedingung b+d=a erfüllbar, so heißt die durch sie eindeutig bestimmte Zahl d Differenz von a und b und wird mit a-b bezeichnet.

In der Subtraktion d=a-b wird a Minuend und b Subtrahend genannt.

Differenz = Minuend Minus Subtrahend.

Die Rechnung heißt Subtraktion.

Wenn die endliche Menge B mit der Elementezahl b in der endlichen Menge A mit der Elementezahl a enthalten ist, so hat die Differenzmenge D die Elementezahl d=a-b:

Das Assoziativgesetz gilt nicht: (1-2)-3

Das Kommutativgesetz gilt nicht: 1-2

Multiplikation

Die Elementezahl p des Mengenprodukts P der beiden endlichen Mengen A und B mit den Elementezahlen a und b heißt Produkt der Zahlen a und b und wird durch a b oder kurz ab bezeichnet:

a und b heißen Faktoren.

Die Rechnung heißt Multiplikation.

Division

Ist für die beiden Zahlen a und b die Bedingung b c=a erfüllbar und b 0, heißt die durch sie eindeutig bestimmte Zahl c Quotient aus a und b und wird mit a:b bezeichnet.

Im Quotienten wird a Dividend, b Divisor genannt.

Quotient = Dividend dividiert durch Divisor.

Die Rechnung heißt Division.

Von größter Bedeutung für praktische Rechnungen ist:[13]

Das Kommutativgesetz gilt nicht: 1:2

Das Distributivgesetz gilt nicht: 1:(2+3)

Der Bereich der ganzen Zahlen

Wesen und arithmetische Struktur

Der Bereich G der ganzen Zahlen wird von den Zahlen , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, gebildet. In diesem Bereich treten vorzeichenbehaftete Zahlen auf, über die zunächst einiges Grundsätzliches gesagt werden soll.

Vorzeichenregeln

Es ist stets:

a)         a+(-a)=0.

b)        -(-a) = a.

c)         a+(-b) = a-b.

a+(-b)+b=a.

d)        a-(-b) = a+b.

e)         -(a+b) = -a+(-b).

f)         -(a-b) = -a+b.

g)        a-(-b) = -ab.

h)        (-a) (-b) = -(-a) b = a b.

Der Körper der rationalen Zahlen

Wesen der rationalen Zahlen

Alle Brüche g/h, die sich aus ganzen Zahlen g und h mit h 0 (die Division durch Null ist in keinem Zahlenbereich möglich) bilden lassen, werden als rationale Zahlen oder gebrochene Zahlen bezeichnet. Die Menge K der rationalen Zahlen enthält die Menge G der ganzen Zahlen:

Zwei Brüche g/h und g'/h' sind genau dann gleich, wenn gh'=g'h ist:

Die Menge der rationalen Zahlen als Zahlenkörper

Zur Addition oder Subtraktion werden zwei rationale Zahlen zunächst so erweitert, daß sie einen gleichen Nenner, einen Hauptnenner, erhalten. Als Hauptnenner dient bekanntlich das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der beiden Nenner. Bei der Addition (Subtraktion) gleichnamiger Brüche (gleicher Nenner) werden deren Zähler addiert (subtrahiert) und der Nenner beibehalten.

Indem also im Bereich der rationalen Zahlen die vier Grundrechenarten bis auf die Division durch Null unbeschränkt ausführbar sind, ist ein in dieser Hinsicht vollendeter Zahlenbereich erreicht. Zahlenbereiche dieser Art werden Zahlenkörper genannt. Der Körperbegriff wird aber auch auf Mengen angewendet, die nicht nur aus Zahlen bestehen.

Der Körper K der rationalen Zahlen ist der kleinste Zahlenkörper, der den Bereich der natürlichen Zahlen enthält.

Absolute Beträge und Abschätzungen

Absolute Beträge

Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a, in Zeichen |a|, versteht man die nichtnegative der beiden Zahlen a und (-a). Hieraus ergeben sich die Folgerungen:

Der Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Faktoren:

Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten aus den Beträgen von Dividend und Divisor:

Abschätzungen

Allgemein

Für nichtnegative Zahlen a und b und jede beliebige natürliche Zahl n 0 gilt:

Dies folgt unmittelbar daraus, daß links nur die beiden Randglieder der Summenentwicklung von (a+b)ⁿ nach dem binomischen Lehrsatz stehen und keiner der vorkommenden Summanden negativ ist.

Bernoullische Ungleichung

Für jedes nichtnegative a und jede natürliche Zahl n gilt:

Hier sind rechts nur die beiden der nach dem binomischen Lehrsatz zu errechnenden Glieder aufgeschrieben während die übrigen nicht-negativ sind.

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Für beliebige n² Zahlen a₁, a₂,, a_n, b₁, b₂,, b_n gilt die Ungleichung:[20]

Dreiecksungleichung

Der Betrag einer Summe ist niemals größer als die Summe der Beträge der Summanden:

Der Beweis kann durch vollständige Induktion geführt worden.

Potenzen, Logarithmen

Potenzen mit rationalen Exponenten

Die einfachsten Potenzen sind solche mit natürlichen Zahlen als Exponenten, auf die weiter eingegangen wird.

Bei der Potenz aⁿ, (nIN) heißt a dabei Basis, n Exponent und aⁿ Potenzwert.

Die erste Erweiterung dieses Potenzbegriffes besteht in der Definition von Potenzen mit negativen ganzen Exponenten, bei denen die Basis 0 sein muß. Ist a 0 und (-n) eine negative ganze Zahl, so versteht man unter der Potenz a^-n den Wert 1/aⁿ:

Ist a eine positive reelle Zahl und g/n (gIG, nIN) eine beliebige rationale Zahl, so versteht man unter die positive Zahl, deren n-te Potenz a^g ist. Statt a^1/n darf auch geschrieben werden. Dieser Ausdruck wird n-te Wurzel aus a genannt.

Dabei heißen:

n:   Wurzelexponent,

a:    Radikand,

Wurzelwert.

Für die Multiplikation, die Division und das Potenzieren der Potenzen gelten folgende Potenzgesetze:

Die letzten drei Potenzgesetze werden auch als Wurzelgesetze formuliert:

Eine Zusammenfassung von Potenzen bzw. Wurzeln durch Addition       und Subtraktion ist nur möglich, wenn Basis und Exponent bzw. Radikand und Wurzelexponent übereinstimmen. Im Falle aⁿ-bⁿ gilt:

mit dem Spezialfall

Aus der Definition für Potenzen folgt für negative Basen:

Rationalmachen des Nenners

Bei der numerischen Berechnung von Brüchen, deren Nenner Wurzeln als Irrationalzahlen sind, ist es zweckmäßig, vor dem Rechnen den Nenner in eine Rationalzahl zu verwandeln. Dies erspart die ungünstige Division durch einen Dezimalbruch als Näherungswert einer Irrationalzahl. Die Irrationalität des Nenners wird durch entsprechendes Erweitern beseitigt.

Potenzen von Binomen (binomischer Lehrsatz)

Sind a,bIA und nIN, so läßt sich (a+b)ⁿ in eine Summe zerlegen:

Rechts stehen (n+1) Summanden, in deren Produkten die Exponenten von a mit n beginnend je um 1 nach rechts abnehmen, die von b umgekehrt mit 0 beginnend je um 1 zunehmen und die als Eulersche Symbole geschriebenen Binominalkoeffizienten (Sprechweise: n über k) aus den folgenden Definitionen heraus berechnet werden können:

Hierbei gilt:

Schreibt man für n=0,1,2, die Binomialkoeffizienten zeilenweise auf, so erhält man das unten dargestellte Pascalsche Zahlendreieck. In der rechts stehenden ausgerechneten Form läßt sich die Symmetrie der Zahlen zur Mittelsenkrechten der Zeilen und die Darstellung einer Zahl als Summe der links und rechts darüber stehenden erkennen.  Damit kann das rechts stehende Zahlendreieck formal entwickelt werden.

Abbildung 6 Pascalsche Zahlendreieck

Abbildung 7 Pascalsche Zahlendreieck mit Binomialkoeffizienten

Logarithmen reeller Zahlen

Definitionen und Gesetze

Vorausgesetzt, a>1 und b sind positive reelle Zahlen, so gibt es genau eine Zahl n=log_ab, Logarithmus b zur Basis a genannt, die als Exponent zur Basis a genau b ergibt:

n ist der Logarithmus.

a ist die Logarithmenbasis.

b ist der Numerus des Logarithmus.

Aus der Definition folgt: Das Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens, und Logarithmieren und Potenzieren zur gleichen Basis heben sich auf:[25]

Weitere Folgerungen (a>1):

log_ab=1,     wenn b=a (Basis gleich Numerus)

log_ab>0,     wenn b>1

log_ab=0,     wenn b=1

log_ab<0,     wenn 0<b<1.

Auf Grund dieser Beziehungen kann jeweils durch Logarithmieren eine Rechenoperation mit reellen Zahlen auf eine darunterliegende "Operationsstufe" zurückgeführt werden, also

aus Potenzieren wird Multiplizieren

aus Multiplizieren/Dividieren wird Addition/Subtraktion.

Logarithmensysteme

Sämtliche Logarithmen (0<b< ) zu einer bestimmten Basis a>0 werden als ein Logarithmensystem bezeichnet. Zwei Logarithmensysteme mit den Basen a und c sind durch die Beziehung

verknüpft. Für b=a folgt log_ac log_ca=1.

Die Logarithmen eines Systems können also in die Logarithmen eines beliebig anderen Systems umgerechnet werden. Als Ausgangssystem werden häufig die natürlichen Logarithmen mit der Basis a=e verwendet. Der sich ergebene Umrechnungsfaktor M_c=log_ce wird Modul des Systems c genannt, so daß für eine Umrechnung dann gilt:

Tabelle 6 Die in der Praxis gebräuchlichen Logarithmensysteme

Zum numerischen Rechnen (außer Addition und Subtraktion) sind am besten die dekadischen Logarithmen geeignet, da deren Logarithmen von Zehnerpotenzen ganze Zahlen sind und sich jede Zahl b durch Abspaltung einer Zehnerpotenz 10ⁿ in b=10ⁿ b' mit 1 b' 10 zerlegen läßt. lg b läßt sich dann wie folgt schreiben: lg b=n+lg b', wobei n als Kennziffer und die hinter dem Komma erscheinenden Stellen von lg b' in der Dezimalbruchschreibweise als Mantisse bezeichnet werden. In den Naturwissenschaften kommt dagegen fast ausschließlich der natürliche Logarithmus zum Einsatz, da für diesen Fall Umrechnungsfaktoren entfallen; naturwissenschaftliche Prozesse folgen häufig der Exponentialfunktion zur Basis e.

Abbildung 8 Darstellung ausgewählter Exponentialfunktionen

Abbildung 9 Darstellung ausgewählter Logarithmusfunktionen (Umkehrung der Exponentialfunktionen)