GEOMETRIE- ABSTANDSBERECHNUNGEN

GEOMETRIE- ABSTANDSBERECHNUNGEN

ABSTAND EBENE - EBENE

E: Ax + By + Cz D = 0         F: Ax + By + Cz E = 0

n    Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen handelt

n    Länge des Normalenvektors bestimmen [ A^2 +B^2 + C^3 ]

n    E D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors

n    Ergebnis = Abstand der beiden parallelen Ebenen

ABSTAND PUNKT - EBENE

(Möglichkeit 1)

n    Aus dem Punkt und dem Normalenvektor eine zweite Ebene bilden (diese ist dann parallel zur Ebene E)

n    Normalenvektor verknüpft mit x minus Normalenvektor verknüpft mit Punkt

n o     x n o p

n    Ebenengleichung aufstellen, dann Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden berechnen (sh. oben)

n    Ergebnis = Abstand Punkt- Ebene

(Möglichkeit 2)

n    Hesse'sche Normalenform aufstellen

n    Dazu Länge des Normalenvektors berechnen

1 / L ( n ) * [( n ) o x D] = 0

n    Punkt für x einsetzen

n    Ergebnis = Abstand Punkt Ebene

ABSTAND GERADE - EBENE

n    Mit dem Antragspunkt der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene eine Ebenengleichung aufstellen

n o x n o p

n    Abstand der beiden Ebenen bestimmen

n    Ergebnis = Abstand Gerade- Ebene

ABSTAND PUNKT - GERADE

n    Der Richtungsvektor der Geraden wird als Normalenvektor betrachtet, um eine Ebenengleichung aufstellen zu können (Also Ebene aus Richtungsvektor und Punkt aufspannen)

n o x n o p

n    Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen

n    Geradengleichung nach r (bzw. der Variablen) auflösen

n    Einsetzen in die Ebenengleichung

n    Ergebnis = Schnittpunkt Gerade - Ebene

n    Vektor aus Schnittpunkt und Punkt bilden     ( s - p )

n    Länge des Vektors berechnen

n    Ergebnis = Abstand Punkt - Gerade

ABSTAND GERADE - GERADE ( gilt nur für parallele Geraden! )

n    Mit dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Antragspunkt von Gerade 2 (oder anders herum) eine Ebenengleichung aufstellen (sh. oben)

n    Schnittpunkt berechnen (Gerade 1 und Ebene)

n    weitere Rechnung sh. Abstand Punkt- Gerade

ABSTAND ZWISCHEN ZWEI WINDSCHIEFEN GERADEN

n    Beziehung zwischen den beiden Geraden herstelllen

n o u = 0 n o u =0

n    Durch Additionsverfahren n bestimmen (beliebigen Wert für ein n einsetzen, um die anderen beiden bestimmen zu können)

n    Ergebnis = Normalenvektor

n    Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 1 Ebenengleichung aufstellen

n    Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 2 Ebenengleichnug aufstellen

n    Abstand der beiden Ebenen berechnen

n    Ergebnis = Abstand der beiden windschiefen Geraden

ABSTAND EBENE - URSPRUNG

n   D durch die Länge des Normalenvektors teilen

n   Ergebnis = Abstand Ebene - Ursprung