Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion

Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion

(1) Definitionsbereich

(2) Achsenschnittpunkte

(3) Grenzwerte für x -> + ¥ Ù x-> - ¥ 41372sjl65oks8r

Grenzwertverhalten an den Polstellen

Ableitungen

(6) Extrempunkte

(7) Polynomdivision -> Asymptotengleichung jk372s1465okks

1.Beispiel : f(x) = (x^2-4)/(x-1)

(1) Definitionsbereich

D(f) = R \ {1}

Bedingung : x-1 ¹ 0

x-1 = 0 ó x = 1

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkte mit x-Achse

Bedingung : f(x) = 0

x^2-4 = 0 ó x = ± Ö 4 ó x = -2 Ú x = 2 (Auflösen nach x)

oder

x^2-4 = 0 ó (x+2)(x-2) = 0 ó x = -2 Ú x = 2 (Binomische Formeln)

=>Sx1 (-2;0) Ù Sx2 (2;0)

Schnittpunkte mit y-Achse

Bedingung : x = 0

f(0) = (0^2-4)/(x-1) = -4/-1 = 4

=>Sy(0;4)

Grenzwerte für x-> - ¥ Ù x-> + ¥

lim f(x) = lim x^2-4 = lim x(x-4/x) = lim x-4/x [ = ¥ /1] = + ¥

x->¥ x->¥ x-1 x->¥ x(1-1/x) x->¥ 1-1/x

oder

lim f(x) = lim x^2-4 = lim 1-4/x^2 [ = 1/0] = +¥

x->¥ x->¥ x-1 x->¥ 1/x-1/x^2

lim f(x) [ = -¥ /1] = - ¥

x->-¥

Folgerung : lim f(x) = ¥ Ù lim f(x) = - ¥

x->¥ x->-¥

Grenzwertverhalten an den Polstellen

l-lim f(x) = lim (1-h)^2-4 = lim 1-2h+h^2-4 [ = -3/-h] = ¥

x->1 h->0 (1-h)-1 h->0 -h

r-lim f(x) = lim (1+h)^2-4 = lim 1+2h+h^2-4 [ = -3/h] = - ¥

x->1 h->0 (1+h)-1 h->0 h

Folgerung : Die Funktion f(x) = x^2-4

x-1

besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle x=1

Ableitungen

1.Ableitung

f’(x) = 2x(x-1)-(x^2-4)1

(x-1)^2

= x^2-2x+4

(x^2-2x+1)

2.Ableitung

f’’(x) = (2x-2)(x^2-2x+1)-(x^2-2x+4)(2x-2)

(x-1)^4

= -6x+6 = -6(x-1) = _-6__

(x-1)^4 (x-1)^4 (x-1)^3

3.Ableitung

f’’’(x) = 18

(x-1)^4

Extrempunkte

notwendige Bedingung : f’(x) = 0

f’(x) = x^2-2x+4 = 0

(x-1)^2

ó x^2-2x+4 = 0

ó x1 = 1 + Ö 1-4 nicht definiert

x2 = 1 - Ö 1-4 nicht definiert

LL = { }

Folgerung : Es gibt keine Hoch- oder Tiefpunkte

Asymptotengleichung

(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)

-(x^2-x)

x-4

-(x-1)

-3

(x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1)

ó (x^2-4)/(x-1) = x+1 - 3/(x+1) = f(x) ¦ -(x+1)

¯ ¯

f(x) g(x) ->0(x->± ¥ )

Behauptung : lim f(x) = lim g(x)

x->± ¥ x->± ¥

Beweis : x^2-4 - (x-1) = - 3

x-1 x-1

¯

f(x) - g(x) = - 3

x-1

lim (f(x)-g(x) = lim - 3

x->¥ x->¥ x-1

lim f(x) - lim g(x) = 0 ½ +[ lim g(x)]

x->¥ x->¥ x->¥

ó lim f(x) = lim g(x)

x->¥ x->¥