Synthetische Division

Synthetische Division

Herleitung

Beispiel: f(x) = 4x³ - 3x² + x - 4 ; x=2

f(2) = 4(2³) - 3(2²) + (2) - 4

f(2) = 32 - 12 = 2 - 4

f(2) = 18

nur Multiplikation und Addition sollen verwendet werden:

4x³ - 3x² + x - 4

x(4x² - 3x + 1) - 4

x(x(4x - 3) + 1) - 4

Von der innersten zur äußersten Klammer x=2 einsetzen:

x(x(4(2) - 3) + 1) - 4

x(x(5) + 1) - 4

x(2(5) + 1) - 4

x(11) - 4

Kurzform:

4 -3 1 -4

8 10 22

4 5 11 18

Die Zahl 18 ist 1.) der Wert von f(x) für x=2, also f(2)

2.) der bei einer Polynomdivision von f(x) mit(x-2) entstehende Rest.

aHannes Schuler

Synthetische Division

Anwendung

Fragestellung: Welchen Wert hat f(x) für x = x ?

Beispiel:   für x = 2

4 5 -2 -1 6

8 26 48 94

4 13 24 47 100

Ergebnis: f(2) = 100

Fragestellung: Ist x die Lösung für f(x) = 0 ?

Beispiel: ; x = 1 Lösung ?

1 -6 11 -6

1 -5 6

1 -5 6 0

Neue Gleichung (quadratisch):

x² -5x +6 = 0

Lösung mit Mitternachtsformel:

Ist das Ergebnis 0, so ist x die Lösung für f(x) = 0. Bei jedem anderen Ergebnis wäre die Zahl keine Lösung. Ist x eine Lösung, so ergibt sich eine neue Gleichung, deren höchste Potenz um eins niedriger ist als bei der Ursprungsgleichung.

Wenn eine Potenz ausgelassen wird, so muss dies in dieser Notation durch eine 0 gekennzeichnet werden! Beispiel: x³ - x + 1 = 0 ist dann

x| 1 0 -1 1