X heißt stetige Zufallsvariable, genau dann, wenn W_x überabzählbar unendlich ist und eine nichtnegative integrierbare Funktion f_x existiert mit

_b

P(a X b) = f(x)dx für alle a,b I A mit a b.

^a

Satz von De Moivre-Laplace:

X_n seien binominalverteilte Zufallsvariablen mit den Parametern n und p, 0 < p < 1,

n= 1,2,3,. Dann gilt für beliebige endliche Intervalle [u,v] für die standardisierten

Zufallsvariablen X_n^* = (X_n - np)/ [np (1 - p)] :

_{v                          2}

lim P(u X_n^* v) = 1/ p e ^{-0,5 x} dx .

^{n u}

Definition (Standardnormalverteilung):

Eine Zufallsvariable Z, für welche die Wahrscheinlichkeiten P(a Z b) für alle a und b mit

_{b b 2}

a b durch     P(a Z b) = j(z) dz =   1/ p e ^{-0,5 z} dz

^{a a}

erklärt sind, heißt standardnormalverteilt oder auch N(0;1)-verteilt.

Die Funktion j heißt Dichte der Zufallsvariablen Z.

P(a < Z b) = P(a Z b) = P(a Z < b) = P(a < Z < b) = F(b) F(a).

P(Z z) = P(Z > z) = 1 F(z)           für jedes z IA

Approximationseigenschaft: X sei binominalverteilt mit den Parametern n und p mit np(1-p) > 9. Dann gelten für die ganzzahligen Werte k, k₁, k₂ mit k₁ < k₂ die Näherungen

P(k₁ X k₂) F (k₂+ 0,5- np)/ [np(1-p)] F (k₁ 0,5- np)/ [np(1-p)]

P(X_n = k) F (k+ 0,5- np)/ [np(1-p)] F (k 0,5- np)/ [np(1-p)]

P(X_n k) F (k+ 0,5- np)/ [np(1-p)]

Die Zufallsvariable X besitze den Erwartungswert m = E(X) und die Varianz s = Var(X) . Falls ihre Standardisierung

X^* = [X - E(X)] / Var(X) = (X-m s = Z

N(0;1)-verteilt ist, heißt X normaverteilt oder N(m s)-verteilt.

Die Zufallsvariable X sei N(m s)-verteilt. Dann gilt:

F(X) = P(X x) = F (x-m s (Verteilungsfunktion);

₂

f(x) = e^{-(x-m / (2s )} ps (Dichte);

P(a X b) = F (b-m s F (a-m s

Dabei ist F die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Es sei X eine N(m s)-verteilte Zufallsvariable. Dann ist für beliebig reelle Zahlen a,b I A, a 0 die Zufallsvariable a X + b normalverteilt, nämlich N(am+b ; a s)-verteilt.

X sei N(m s )-verteilt und Y sei N(m s )-verteilt. Außerdem seien X und Y unabhängig. Dann ist die Summe X + Y wieder normalverteilt.

Zentraler Grenzwertsatz: Es seien X₁, X₂, X₃, .,X_n unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilungsfunktion, den gleichen Erwartungswert m und die gleiche Varianz s besitzen. Dann ist für große n die Summenvariable Y_n = X₁ + X₂ + X₃ +..+ X_n näherungsweise normalverteilt, nämlich N(n m n s)-verteilt.

Über die Standardisierung erhält man somit P(Y_n x) F (x-nm n s

Die Zufallsvariable X besitze die Dichte

l e^-lx l>0 für x

f(x) =              0 für x < 0.

Dann heißt X exponentialverteilt mit dem Parameter l

P(a X b) = F(b) - F(a) = e^{-l a} - e^{-l b} für a b.

Satz:

Für eine mit dem Parameter l > 0 exponentialverteilte Zufallsvariable X gilt

E(X) = 1/l; Var(X) = 1/l