Naherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen - Das Newtonsche Iterationsverahren

Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen

Das Newtonsche Iterationsverahren

Dieses Verfahren der Nullstellenanäherung macht von der Tatsache Gebrauch, dass der Funktionsgraph einer differenzierbaren Funktion in einer Umgebung U(x1) durch die Tangente im Punkte P1(x1|f(x1)) approximiert wird.

Gelingt es einen Wert x1 zu finden, dessen Funktionswert schon 'nahe' bei 0 liegt, so bestimmt man den Schnittpunkt der Tangente im Punkte P1 der x-Achse. Man kann erwarten, dass die so ermittelte Stelle x2 einen besseren Näherungswert für die gesuchte Nullstelle z darstellt als der Startwert x1.

Durch die Berechnung von (x2) kann man feststellen, ob x2 tatsächlich näher bei der gesuch-ten Nullstelle z liegt. Ist dies der Fall, so kann man das Verfahren zur Berechnung weiterer Näherungswerte wiederholen:

, , usw.

Auf diese Weise erhält man eine Folge von Näherungswerten x1, x2, , xn, xn+1, . Der Wert xn+1 ergibt sich aus dem vorhergehenden Wert xn nach der Rekursionsgleichung

Wenn der Ausgangswert x0 ausreichend nahe bei der tatsächlichen Nullstelle z liegt, kann man erwarten, dass die Folge xn dieser Zahl z schließlich beliebig nahe kommt. Die Folge x1, x2, , xn strebt einem Grenzwert zu. So ist z also der Grenzwert der Folge xn, so das gilt: .

Isaac Newton - zur Person

Übungen und Aufgaben

1. Ermitteln Sie mit Hilfe des Newtonverfahrens Näherungswerte für die Nullstellen von f.

a)               d)

b)               e)

c)                         f)

Allgemein zum Iterationsverfahren

Das N.N. ist ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung einer Funktion f(x), wenn für jede Stelle (x0,y0) die Ableitung y0` gegeben ist. Bei jedem Schritt wird die Funktion ersetzt durch die Gerade durch den Punkt (x0,y0) mit der Steigung y0` falls y0`‡ 0. Die Nullstelle x2 = x1 - y1/y1` ist eine Näherung an die Nullstelle von f(x). Dieser Schritt wird iterativ wiederholt. Bei Annäherung von xi an die gesuchte Nullstelle x* hat das N.N. quadratische Konvergenz, d.h. |x* - xi+1| < K(x* - xi)². Das N.N. läßt sich auf mehrere Dimensionen verallgemeinern. Sucht man zum Beispiel die Lösungen der Gleichungen f1(x,y) = 0 und f2(x,y) = 0, so bringt man an jeder Stützstelle die Tangentialebenen an diese Funktionen miteinander und mit der Ebene z = 0 zum Schnitt und erhält daraus einen Schätzwert für die gesuchte Nullstelle (x*,y*).

Beispiel 2

Nicht in jedem Fall führt die Anwendung des Iterationsver-fahrens zum Ziel.

Die Durchführung des Verfahrens ist einerseits abhängig vom, Funktionsverlauf und ob der Startwert x1 ausreichend nahe genug bei der Nullstelle z liegt.

Eine Bedingung dafür, dass das Verfahren zum Ziel führt, ist das die Folge x1, x2, , xn einem Grenzwert zustrebt.

Bei der Durchführung des Verfahrens ist festzustellen, ob sich die Werte x1, x2, , xn immer weniger unterscheiden, oder ob die Werte der Folge f(x1) f(x2), , f(xn) der Zahl 0 immer näher kommen oder nicht.

Das Newtonsche Iterationsverfahren

Näherungsverfahren zur Berechnung von Nullstellen

Für die Tangentenfunktion t zur Stelle x1 gilt:

für die Nullstelle x1 dieser Funktion gilt also:       

Falls f`(x1)‡0 ist, ergibt sich daraus:

, also .

Weitere Berechnung der Näherungswerte:

, , usw.

Allgemeingültige Formel (Rekursionsgleichung):

Def.:    Ist eine Funktion über einem Intervall [a,b] zweimal stetig differenzierbar, ist der Graph von f über [a;b] durchweg linksgekrümmt oder durchweg rechtsgekrümmt, gilt ferner f(a)* f(b)<0, so konvergiert nach dem Newtonverfahren für jeden Startwert x1 E[a;b] die Folge xn mit eben dieser Gleichung.