INHALTSVERZEICHNIS:

Zahlenbereichserweiterung

Definition und Eigenschaften von komplexen Zahlen

Geschichte der komplexen Zahlen

Darstellung der komplexen Zahlen

Rechnen mit komplexen Zahlen

Die Kreisteilungsgleichungen

Körper der komplexen Zahlen

Gruppe

Beispiele

Zahlenbereichserweiterung

Der Zahlbegriff geht von den natürlichen Zahlen aus , die den Vorgang des Abzählens beschreiben. Den praktischen Erfordernissen entsprechend hat man in der Menge der natürlichen Zahlen eine Addition erklärt. Sie ist in N abgeschlossen. Das heißt, die Addition zweier natürlicher Zahlen ergibt wieder eine natürliche Zahl. Doch bereits die Subtraktion, die Umkehrung der Addition (a + x = b; b ≤ a) führt aus der Menge der natürlichen Zahlen N heraus. Es war daher notwendig, die Menge N durch die negativen ganzen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen Z zu erweitern.

Die Operation des Teilens ( Division ) führt aus der Menge der ganzen Zahlen Z heraus. Erst mit einer weiteren Zahlenbereichserweiterung wird die Division möglich. Es entsteht die Menge der rationalen Zahlen Q .

Aus der Menge der rationalen Zahlen führt  die Operation des Wurzelziehens. Man erweitert daher die Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen R. Nun erkennt man aber, dass auch die reellen Zahlen kein abgeschlossenes algebraisches Zahlensystem bilden, denn die einfache quadratische Gleichung x² + 1 = 0 hat bereits keine reelle Zahl x zur Lösung, da sowohl -1 als auch +1 quadriert positiv ist. Um die Gleichung x² + 1 = 0 zu lösen, muss der Bereich der reellen Zahlen wieder erweitert werden. Man erhält die Menge der komplexen Zahlen C.

Die Zahlenbereichserweiterung geht so vor sich, dass man die beiden Lösungen dieser Gleichung die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, mit i und - i bezeichnet. Man nennt i die imaginäre Einheit. Somit wird die Zahl i( ), die "imaginäre Einheit", als eine der beiden Lösungen der Gleichung x² + 1 = 0 definiert, die andere Lösung ist -i ( - ). Ebenso wie die Zahl -1, die "negative Einheit", als die Lösung der Gleichung x+1=0 definiert ist. Alle Vielfachen von i nennt man imaginäre Zahlen

Definition und Eigenschaften von komplexen Zahlen

Ein Gebilde der Form z = a + b^.i heißt komplexe Zahl, wobei a und b reelle Zahlen sind und i eine Schreibweise für den Ausdruck , wobei gilt i²= -1 (Def.). a heißt Realteil von z ( Re(z) ), b heißt Imaginärteil von z ( Im(z) ).

Für a = 0 erhält man eine imaginäre Zahl:                          a = 0 z = bi .imaginäre Zahl

Für b = 0 erhält man dann die Menge der reellen Zahlen: . b = 0 z = a. reelle Zahl.

Die Menge R stellt also eine Teilmenge der komplexen Zahlen mit dem Imaginärteil b = 0 dar. Das heißt jede reelle Zahl kann als komplexe Zahl mit dem Im(z)=0 angesehen werden.

Die Bestimmung der Lösungen von x² + 1 = 0 ist gleichbedeutend mit dem Auffinden einer Zahl deren Quadrat -1 ist. Diese Eigenschaft i² = -1 kann keine reelle Zahl haben, da das Quadrat einer reellen Zahl immer positiv ist. Die Gleichung x² + 1 = 0 hat also in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung, ebenso wie in der Menge der positiven Zahlen die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung hat.

Eine weitere Eigenschaft der komplexen Zahlen erkennt man, wenn man die Potenzen von i bildet:

i¹ = i;

i² = -1 (per def);

i³ = i²^.i =-1^.i=i;

i⁴ =i²^.i² =-1^.-1 = 1;

i⁵ = i^4.i =1^.i = i u.s.w.

i^4k = 1;                   k ε N

i^4k+1 = i;

i^4k+2 = -1; 

i^4k+3 = - i

Man sagt die Potenzen von i bilden eine zyklische Gruppe.

Geschichte der komplexen Zahlen

Bereits in der Antike bemerkte man, dass manche Rechnungen auf Wurzeln aus negativen Zahlen führen, doch damals hielt man dies für die Folge schlecht gewählter Zahlenbeispiele und vermied sie deshalb. CARDANO (1501-1576)und BOMBELLI (1526-1572) zählten zu den Ersten, die über solche Wurzeln genauer nachdachten. CARDANO gab offen zu, dass er mit ihnen nichts Rechtes anfangen konnte. BOMBELLI ließ sich eine originelle Erklärung einfallen: Er erweiterte einfach die Vorzeichenregeln

Bis zur vollständigen Anerkennung der komplexen Zahlen dauerte es an die 400 Jahre. Die Schwierigkeiten, die manche Mathematiker mit den komplexen Zahlen hatten, äußerten sich darin, dass man diese Zahlen als "unmögliche", unschickliche", "eingebildete (imaginäre)", "scheinbare", "gedachte" Zahlen und Ahnliches bezeichnete. Manche Mathematiker lehnten sogar die Beschäftigung mit solchen Zahlen ab. Christian WOLFF und Leonhard EULER vertraten die Meinung, dass Wurzelziehen aus negativen Zahlen zwar unmöglich ist, aber "in der Mathematik geduldet wird, weil es wie andere eingebildete Sachen sonderlichen Nutzen im Erfinden bringt". EULER - von ihm kommt die Bezeichnung der imaginären Einheit mit "i" - konnte komplexe Zahlen bereits virtuos handhaben, doch bis ins 19 Jahrhundert gab es noch viele Unklarheiten.

Ein wesentlicher Schritt war die geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Diese wurden von verschiedensten Mathematikern, vor allem von ARGAND und WESSEL entwickelt. Carl Friedrich GAUSS kannte diese Darstellung wahrscheinlich schon in seinen frühesten Jahren und machte sie in breiteren Mathematikerkreisen bekannt. Er schrieb: man könne "das ganze Reich aller Größen, reeller und imaginärer Größen, sich durch eine unendliche Ebene sinnlich machen, worin jeder Punkt, durch Abszisse = a, Ordinate = b bestimmt, die Größe a+b.i gleichsam repräsentiert". Von vielen wurde diese geometrische Darstellung als Beweis für die Existenz von komplexen Zahlen angesehen. Als aber HAMILTON seine Konstruktion komplexer Zahlen mit Hilfe von Paaren reeller Zahlen angab, war eine rein algebraische Begründung der komplexen Zahlen - ohne Benützung geometrischer Anschauung - gefunden.

Darstellung der komplexen Zahlen

Es gibt 5 Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl:

z = a + b^.i......kartesische Binomialform

z = ( a / b ).kartesische Zahlenpaarform

z = r^.( cos φ ^. i ^. sin φ )..trigonometrische Binomialform

z = ( r ; φ )..trigonometrische Zahlenpaarform

z = r^.e^iφ..Eulersche Form

Umrechnen von der kartesischen Form in die trigonometrische Form:

r = |z| = tan φ = d.h. φ = arc tan

Umrechnen von der trigonometrischen Form in die kartesische Form:

a = r ^. cos

b = r ^. sin φ

φ_rad = ^. Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß

Die reellen Zahlen lassen sich als Pfeile auf der reellen Achse darstellen. Da alle reellen Zahlen so auf einer Zahlengeraden abgebildet werden können, spricht man von "eindimensionalen Zahlen". Die komplexen Zahlen hingegen sind "zweidimensional". Sie können in der Gausschen Ebene grafisch dargestellt werden. Zu jedem Punkt der Gauss'schen Zahlenebene gehört genau ein Pfeil der entsprechenden komplexen Zahl.

Gauss'sche Zahlenebene:

Die x-Achse der Gausschen Ebene -auf ihr wird Re(z) aufgetragen - ist identisch mit einer reellen Achse, während die y-Achse -auf ihr wird Im(z) aufgetragen -,imaginäre Achse heißt, auf der die rein imaginären Zahlen dargestellt werden können. Eine beliebige komplexe Zahl in Binomialform z = a + bi besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil b. In der grafischen Darstellung sind Realteil a und Imaginärteil b Abszisse bzw. Ordinate des zugehörigen Endpunktes der Pfeildarstellung von z in der Gauss'schen Ebene.

Zu jeder komplexen Zahl z = x + iy erhält man eine konjugiert komplexe Zahl = x - iy, die durch Spiegelung von z an der reellen Achse hervorgeht:

Konjugierte komplexe Zahlen:

z = a + b ^. i

= a - b ^. i konjugiert komplex zu z )

Speziell ist die konjugiert Komplexe einer reellen Zahl die Zahl selbst und die konjugiert Komplexe einer rein imaginären Zahl die zugehörige imaginäre Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen.

Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen z ^. ist eine reelle Zahl:

z ^. = (a + b ^. i ) ^. ( a - b ^. i ) = a² - b²^.i² = a² + b² є R

Die Summe zweier konjugiert komplexer Zahlen z + ist eine reelle Zahl:

z + = 2 ^. a є R                                                    

Rechnen mit komplexen Zahlen

Additionen und Subtraktion von komplexen Zahlen in der kartesischen Binomialform:

Addition: Die Real- und die Imaginärteile der beiden zu addierenden komplexen Zahlen werden einzeln addiert:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂ )^.i

Für den Spezialfall zweier reeller Zahlen z₁ und z₂ erhält man die gewohnte Addition im Reellen.

Subtraktion: Die Real- und die Imaginärteile der beiden zu subtrahierenden komplexen Zahlen werden jeweils subtrahiert:

z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂ ) ^.i

Da a₁, b₁, a₂, b₂ und damit auch (a₁ + a₂), (b₁ + b₂ ), (a₁ - a₂), (b₁ - b₂ ) reelle Zahlen sind erkennt man: Die Summe und die Differenz zweier komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl.

Die Addition und die Multiplikationn im Komplexen ist -wie im reellen- kommutativ und assoziativ:

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

( z₁ + z₂ ) + z₃ =z₁ + ( z₂ + z₃) = z₂ + ( z₁ + z₃)

z₁ ^. z₂ = z₂ ^. z₁

( z₁ ^. z₂ ) ^. z₃ =z₁ ^. ( z₂ ^. z₃) = z₂ ^. ( z₁ ^. z₃)= z₁ ^. z₂ ^. z₃

Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in der kartesischen Binomialform:

Multiplikation:

z₁ z₂ = (a₁ + b₁^.i)^.(a₂ + b₂^.i) = a₁ ^. a₂ + a₁ ^. b₂ ^. i + a₂ ^. b₁ ^. i + b₁ ^. b₂ ^. i^²  =

(a₁ ^. a₂ - b₁ ^. b₂) + (a₁ ^. b₂ + a₂ ^. b₁) ^. i

Division:

Für die Division zweier komplexer Zahlen wird der Bruch mit erweitert, wodurch im Nenner eine reelle Zahl entsteht.

= = ^. i

Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in der Polarform:

z₁ ^. z₂ = r₁ ^. (cos +i ^. sin ) ^. r₂ ^. (cos + i ^. sin

= r₁ ^. r₂ ^. (cos φ₁ ^. cos φ₂ + i² ^. sin φ₁ ^. sin φ₂ ) + i*(cos φ₁ *sin φ₂ + cos φ₂ *sin φ₁)

Wenn man die Additionstheoremen für Winkelfunktionen berücksichtigt, erhält man:

z₁ ^. z₂ = r₁ . r₂ .[ cos( )+i^.sin(

Das heißt, die Multiplikation zweier komplexer Zahlen bedeutet die Multiplikation ihrer Beträge und die Addition ihrer Winkel. Da die Division zur Multiplikation invers ist, sind bei der Division in Polarkoordinaten die Beträge zu dividieren und die Winkel voneinander abzuziehen:

= . (.[ cos(φ₁ - φ₂)+i . sin ( φ₁ - φ₂) ]

Potenzieren von komplexen Zahlen:

zz = z² = r²(cos2j + i sin2j)
z³ = r²r(cos2j + i sin2j)(cosj + isinj) = r³(cos2φcosφ - sin2φsinφ + isin2φcosφ +icosφsin2φ)

cos3 sin3

z³ = r³(cos3 + i sin3

Mit dieser Methode weiter entwickelt erhält man den Satz von MOIVRE

zⁿ = rⁿ(cos^.n + i sin^.n

Eine komplexe Zahl z wird mit n potenziert, indem man ihren Betrag r mit n potenziert und ihr Argument j mit n multipliziert.

Radizieren von komplexen Zahlen:

Man radiziert eine komplexe Zahl, indem man aus dem Betrag r die n-te Wurzel zieht und das Argument φ durch n dividiert.

= = ^. (cos + i ^. sin

Grafische Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen:

Da die komplexen Zahlen grafisch als Pfeile dargestellt werden können, können sie wie Vektoren grafisch addiert (Parallelogrammregel) und Subtrahiert (Regel: Spitze minus Schaft)

Die Kreisteilungsgleichungen

|eⁱ | = |cos + i ^. sin

a                 b

e^iφ ist eine komplexe Zahl mit dem Betrag eins, die in der Gauss'schen Ebene auf dem Einheitskreis liegt.

Man bezeichnet eine Gleichung der Form zⁿ - 1 = 0                                 
als Kreisteilungsgleichung und deren Lösungen als n-te Einheitswurzeln.

Es ist               zⁿ - 1 = 0 zⁿ = 1

Es gilt: z_k = ( 1 , k ^. mit k = 0, 1, .., n - 1

Die Bildpunkte der n-ten Einheitswurzeln liegen am Einheitskreis und teilen diesen in n gleiche Teile. Sie bilden also die Eckpunkte eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen n-Ecks, wobei ( 1| 0 ) ein Eckpunkt ist.

BEISPIEL: z⁴ = 1  Berechne die vier Lösungen und stelle sie grafisch dar!

Ausführung:

Die vier Lösungen liegen am Einheitskreis und teilen ihn in vier gleiche Teile.

Z_k = (k 90°; 1)  k = 0, 1, 2, 3

z₀ = (0°; 1) = 1 

z₁ = (90°; 1) = cos90° + isin90° = i

z₂ = (180°; 1) = cos180° + isin180° = -1

z₃ = (270°; 1) = cos270° + isin270° = -i

Somit gilt L = 1, i, -1, -i

Körper der komplexen Zahlen

Gruppe

Ein Verknüpfungsgebilde (M;o) heißt Gruppe, wenn es folgende Eigenschaften hat:

1.)Die verknüpfung "o" ist assoziativ:

a, b ,c M : (a o b) o c = a o ( b o c )

2.)In M existiert genau ein neutrales Element n:

n M, V a M : a o n = n o a = a

3.)Zu jedem Element a aus M gibt es genau ein inverses Element a* aus M:

a M, a* M : a o a* = a* o a = n

4.) (Zusatz) Ist eine Verknüpfung auch kommutativ, so spricht man von einer kommutativen Gruppe ( Abelschen Gruppe)

Hat eine Gruppe endlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als endliche Gruppe.

Hat eine Gruppe unendlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als unendliche Gruppe.

RING

Ein Verknüpfungsgebilde (M;o;ٱ) heißt Ring , wenn folgndes gilt:

1.) (M;o) ist eine kommutative Gruppe.

2.) (M;ٱ) ist assoziativ.

3.) Die zweite Verknüpfung ist bezüglich der ersten distributiv:

a, b, c M: a (b o c ) = ( a b) o (a c)

(a o b ) c = ( a c) o (b c)

Hat eine Gruppe endlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als endliche Ring.

Hat eine Gruppe unendlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als unendliche Ring.

Körper

Ein Verknüpfungsgebilde (M;o;ٱ) heißt Körper , wenn folgndes gilt:

( M;o) ist eine kommutative Gruppe mit n_o als neutralem Element.

(M n_o ; ٱ ) ist eine kommutative Gruppe.

Die zweite Verknüpung ist bezüglich der ersten distributiv:

a, b, c M : a (b o c ) = ( a b) o (a c)

Hat eine Gruppe endlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als endliche Körper.

Hat eine Gruppe unendlich viele Elemente, so bezeichnet man sie als unendliche Körper.

Beispiele

Addition:

(1+3i)+(5+6i)= 6+9i

Subtraktion:

(6+5i) -(4+3i)= 2-2i

Multiplikation:

(4+3i)*(3+3i)=(12+12i+9i+9i²)= 3+21i

Division:

= = = = = 2-i

Potenzieren:

(3+i)² = 9 +6 i -1 = 8 +6

Radizieren:

1.) z =8 + 2 i

= x + y i

8 + 2 i = x² -y² + 2 x y i                   x² - y² = 8

2xy = 6

y =

x² - = 8 | ^.x²

x⁴ -9 = 8 x²

x⁴ - 8 x²- 9 c= 0 x²_1,2 =4 ⁺_- 5

x= -3 y = -1

x = 3 y = 1

2.)Satz von Moivre

z = 8 + 6 i

10

6

8

(cos + i sin

= arc tan

^. (cos + i sin a = r cos 18,44 = 3

b = r sin 18,44 = 1

= ( 3 + i )