Ganzrationale Funktionen
Definition einer ganzrationalen Funktion:
Eine Funktion heisst ganzrational,
wenn man ihren Funktionsterm auf diese Form bringen kann: f(x) = anxn
+ an-1xn -1 + . + a1x1 + a0
Die Zahlen a0 , a1 bis an heissen die Koeffizienten der Potenzen x0 , x1 bis xn . Der Koeffizient a0 heisst auch das Absolutglied, weil er im Grunde ohne x absolut unveränderlich ist, während a1x usw. die Variable x dabei haben.
Den Term (mathematischen Ausdruck) auf der rechten Seite der Gleichung bezeichnet man als Polynom, deshalb ist in vielen Büchern auch von der Polynomfunktion die Rede. Der höchste vorkommende Exponent n (mit an ≠ 0) bestimmt den Grad der Funktion. (auch genannt den Polynomgrad). Wenn alle Exponenten ungrad sind, so spricht man auch von einer ungeraden Funktion.
höchster
Exponent
Beispiele:
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|
Ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, da der höchste Exponent 4 beträgt. Die Funktion hat folgende Koeffizienten: a4 = 1, a3 = 0, a2 = 2, a1 = 4, a0 = 1 |
|
f2(x) = 3x5 + 2x3 + ⅔x |
Ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades, da der höchste Exponent 5 beträgt. Da zudem alle Exponenten ungerade sind, handelt es sich hierbei auch um eine ungerade Funktion. Die Koeffizienten lauten hier wie folgt:: a5 = 3, a4, a2, a0 = 0, a3 = 2, a1 = ⅔ |
|
f3(x) = (x2 - 2) 2 |
Wenn man das Polynom in die Normalform bringt, ist erkenn bar, dass es sich bei dieser Funktion um eine gerade, ganzrationale Funktion 4. Grades handelt. f3(x) = x4 - 2x2 + 1 |
Der Definitionsbereich einer Funktion besteht aus allen reellen Zahlen, denen man einen Funktionswert zuordnen kann. Einschränkungen ergeben immer nur diese drei Rechenoperationen:
Dividieren: ist durch 0 nicht möglich
Ziehen einer Wurzel: ist aus negativen Zahlen nicht möglich
Logarithmieren: ist nur bei positiven Zahlen möglich.
Da bei ganzrationalen Funktion x weder im Nenner, noch unter einer Wurzel oder in einem Logarithmus vorkommt, haben alle ganzrationalen Funktionen den maximalen Definitionsbereich D = R, d.h. zu jeder reellen Zahl ist ein Funktionswert berechenbar.
Die Zuordnung x → f(x).kann man auch geometrisch als Punkt x | f(x) . darstellen.
Die Menge aller solchen Punkte nennt man den Graph oder das Schaubild der Funktion, oder auch eine Kurve.
Es gibt nun einige Merkmale, die rasch erkennen lassen, ob bestimmte Eigenschaften vorliegen. Diese werden im folgenden Kapitel besprochen.
Wenn eine Funktion nur gerade Exponenten hat, so ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Diese Eigenschaft resultiert aus der Tatsache, dass wenn man eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten exponiert, so erhält man den gleichen Wert, wie wenn man die positive Zahl exponiert hätte. (Minus ∙ Minus = Plus). Dies bedeutet, dass man für die Funktion:
f(x) = ¼ ∙ x4 - 2x2 + 7/4
den gleichen Wert erhält, egal ob man 2, oder -2 für x einsetzt. Somit gilt:
f(x) = f(-x)
Bei geraden Funktion ist der Graph symmetrisch zur y-Achse da f(x) = f(-x)
Wenn eine Funktion nur ungerade Exponenten beinhaltet, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies bedeutet, dass wenn ich z.B. für x zuerst 3 einsetze, und anschliessend -3, so erhalte ich als zweites Resultat den invertierten Wert des ersten Resultates (positiv wird negativ, oder umgekehrt). Am verständlichsten ist diese Eigenschaft, wenn man das untenstehenden Graphen betrachtet, der aus folgender Funktion resultiert:
f(x) = -1/9 ∙ x3 + x
Graph zur Funktion f(x) = -1/9 ∙ x3 + x
Es lässt sich gut erkennen, dass beim Punkt x = -2 ein y-Wert von etwas weniger als -1 hat, und bei x = 2 ein y-Wert von etwas weniger als +1 hat.
Beinhaltet eine Funktion gerade sowie auch ungerade Exponenten, so ist keine Symmetrie erkennbar.
f(x) = -1/9 ∙ x3 + 2x - 3
Geht man von der Funktion f(x) = a ∙ xn .aus, so lassen sich die möglichen Verläufe des aus der Funktion resultierenden Graphen in insgesamt 5 Kategorien unterteilen, je nachdem ob die Funktionsgleichung aus geraden oder ungeraden Exponenten besteht und ob man für a einen negativen oder positiven Wert wählt.
a > 0 und n
= nur gerade a < 0 und n
= nur gerade
a > 0 und n
= nur ungerade und wenn x → - ∞ so gilt für f(x) → - ∞
a < 0 und n
= nur ungerade und wenn x → - ∞ so gilt für f(x) → + ∞
Eine Nullstelle ist eine Zahl mit dem Funktionswert 0. Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.
Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades kann höchstens n reelle Nullstellen haben.
Wie sich anhand der Grafiken im Kapitel 2.1.4 gut entnehmen lässt, besitzen ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten mindestens eine Nullstelle. Bei anderen Funktionen, die diese Eigenschaft nicht erfüllen, lässt sich nicht ausschliessen, dass eine Funktion gar keine Nullstelle besitzt.
Je grösser der grösste Exponent einer Funktionsgleichung ist, desto mehr Nullstellen sind möglich, und desto schwieriger wird es auch alle Nullstellen zu berechnen. Um nicht den Rahmen dieser Dokumentation zu sprengen, beschränke ich mich hier auf die Berechnung der Nullstellen einer Funktion bis maximal dritten Grades. Wer mehr wissen möchte über die Berechnung von Nullstellen bei Funktionen höheren Grades, findet Informationen in den, im Quellen-Verzeichnis (Kapitel 4) angegebenen Internetseiten.
Bei einer
Funktion ersten Grades handelt es sich ganz schlicht um eine Gerade, welche
bekanntlich nur eine Nullstelle besitzen kann. Um die Nullstelle zu berechnen
setzt man für f(x) = 0 ein, und löst die Funktionsgleichung nach x auf.
Beispiel:
f(x) = -3x + 4
0 = -3x + 4 | +3x
3x = 4 | :4
x = ¾ N = (¾,0)
Bei Funktionen zweiten Grades kann es maximal zwei Nullstellen geben. Zur Berechnung dieser zwei möglichen Nullstellen setzt man ebenfalls f(x) = 0, und bedient sich dann der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
Beispiel:
f(x) = -2x2 + 3x + 2
0 = -2x2 + 3x + 2
Allgemein Form: f(x) = ax2 + bx +c
a = -2 ; b = 3 ; c = +2
x1 = -0.5 ;
x2 = 2
Die Nullstellen einer Funktion dritten Grades lassen sich durch Polynomdivision berechnen. Dies Bedingt allerdings, dass mindestens ein Wert für x, an dem f(x) = 0 ist, gegeben ist. Denn dadurch lässt sich die Funktion auch in der Form:
f(x) = (x - x1) * f1(x) darstellen.
x1 = der Wert damit die Funktion 0 ergibt.
Der Faktor (x - x1) heisst Linearfaktor,
f1(x) ist das sog. 1. reduzierte Polynom vom Gerade (n-1)
Durch die Abspaltung eines Linearfaktors erhalten wir das reduzierte Polynom f1(x) vom Gerade (n-1). Das heisst, wenn f(x) eine Funktion dritten Grades ist, so ist f1(x) eine Funktion zweiten Grades. Wenn f1(x) berechnet ist, kann man mittels Lösungsformel für quadratische Gleichungen die restlichen zwei Nullstellen berechnen. (Siehe Kapitel 3.1.2)
Berechnungs-Beispiel:
f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6 mit einer Nullstelle x1 = 1
f(x) = (x - x1) * f1(x) | : (x - x1)
f1(x) = f(x) / f1(x)
1. Zuerst dividieren wir das höchste Glied von f(x) durch das höchste Glied von (x - 1), d.h. wir rechnen x3/x = x2 und schreiben das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen.
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2
2.
Nun multiplizieren wir das Ergebnis (2x2) mit (x - 1) und schreiben
das Ergebnis unter das Polynom f(x). Dabei schreiben wir die Glieder gleichen
Grades untereinander:
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x -
1) = x2
mal gleich
x3 - x2
3.
Dieses Ergebnis (x3 - x2) ziehen wir gliedweise vom
Polynom f(x) ab, und schreiben es unter den Strich:
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2
- (x3 - x2 )
- x2 - 5x + 6
Das negative Vorzeichen vor der Klammer wird normalerweise nicht geschrieben.
4. Schritt 1-3 wiederholen sich nun immer wieder: Nun dividieren wir das höchste Glied dieses Restes durch das höchste Glied von (x - 1) , d.h. wir rechnen -x2/x und schreiben das Ergebnis (-x) hinter das Gleichheitszeichen:
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2 - x
x3
- x2
- x2 - 5x + 6
5. Nun multiplizieren wir wieder das Ergebnis (-x) mit (x - 1) und schreiben
das Resultat unter den Rest:
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2 - x
x3
- x2
- x2 - 5x + 6
- x2 + x
6. Wir subtrahieren wieder die untereinander stehenden Glieder:
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2 - x
x3
- x2
- x2 - 5x + 6
-
x2 + x
- 6x + 6
7. Von nun an werden die Schritte 4 bis 6 solange wiederholt, bis der Rest 0 auftritt, oder der Rest ein Polynom ist, dessen Grad kleiner als der Grad von (x - 1) ist:
(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x - 1) = x2 - x - 6
x3
- x2
- x2 - 5x + 6
-
x2 + x
- 6x + 6
- 6x + 6
0
8. Wir haben für f1(x) das Resultat "x2 - x - 6" erhalten. Um nun die zwei weiteren Nullstellen zu berechnen kann man die Lösungsformel für quadratische Funktionen verwenden. Allerdings erkennt ein geschultes Auge sofort, dass es sich beim erhaltenen Resultat um ein Produkt einer Binomischen Formel handelt. Deshalb lässt sich das Resultat auch so darstellen:
f1(x) = (x-3)(x+2)
Weil die Multiplikation von f1(x) mit (x - 1) die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt, können wir nun die Funktionsgleichung für f(x) auch in Form eines Produktes darstellen:
f(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)
Damit f(x) = 0 ist, muss x so gewählt werden, dass mindestens ein Faktor 0 ist. Dies bedeutet, dass in mindestens einer Klammer die Summe gleich 0 sein muss. Da wir drei verschiedene Klammern haben, gibt es für x drei verschiedene Werte, damit das Produkt 0 ergibt:
x1 = 1
x2 = 3
x3 = -2
Daraus ergeben sich nun folgende drei Nullstellen:
N1 = (1/0)
N2 = (3/0)
N3 = (-2/0)
Graph der Funktion f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
Wie schon erwähnt, kann man die Nullstellen nach der Polynomdivision auch mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen. Wenn aber als Resultat schon ein Produkt einer Binomischen Formel heraus kommt, so ist man mit der Produktdarstellung schneller.
Internet:
http://home.arcor.de/loknar/mathe/ganzrationale_funktionen.doc
http://www.mathe-aufgaben.de/mathehilfen/mathe-abitur/Funktionen/gara/18011%20Funktionen%202%20SOD.pdf
http://www.steinwaldgym.de/ganzrat.htm
Andere:
Arbeitsblatt "Ganzrationale Polynomfunktionen" aus dem Freifachkurs Mathematik von Herrn G. Kopacsy
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