Facharbeit - Sir Isaac Newton

Einleitung

Zwei der wichtigsten Begriffe der Differential- und Integralrechnung sind wahrscheinlich die Namen Leibniz und Newton. Sie setzte sich in jahrhundertelang anhaltenden Bemühungen durch, um Aufgaben zu lösen, die z.B. die Ermittlung des Flächeninhalts zweier Funktionen hatten.

Im 17. Jahrhundert wurden von Sir Isaac Newton und Gottfried Willhelm Leibniz diese Forschungen nahezu zu Ende gebracht. Newton und Leibniz hatten nämlich, beide unabhängig voneinander, Verfahren zur Differenzierung und Integration von Funktionen entdeckt und grundlegende Lehrsätze bewiesen, in denen die Differentialrechnung mit der Integration verknüpft waren.

Die damaligen Probleme wurden größten Teils anders aufgefasst als heute. In Arbeiten und Definitionen von damals stößt man des öfteren auf Unklarheiten. Sicher waren sich auch die damaligen Mathematiker dieser Situation sehr bewusst, denn sie führten darüber heftige Diskussionen, wie z.B. der Streit zwischen Leibniz und Newton

Sir Isaac Newton

Geboren: 4. Januar 1643 in Woolsthorpe Lincolnshire

Gestorben: 31. März 1727 in Kensington bei London

Newton studierte am Trinity College der Universität in Cambridge. 1665 wurde er Bachelor of Arts, 1669 erhielt er ein Lehramt als Professor für Mathematik in Cambridge. Er hatte sich seit 1664 vor allem mit den mathematischen Werken von Descartes und Wallis beschäftigt und entwickelte daraus, unabhängig von Leibniz, seine 'Fluxionsrechnung' (britische Bezeichnung für die Differenzialrechnung), wobei es zwischen beiden zu einem Prioritätsstreit kam. Die Fluxionsrechnung ist nach ihm die Basis der Differenzial- und Integralrechnung. Er ging bei seinen Betrachtungen von der Bewegungslehre (Geometrie) aus. Die Ableitung bedeutet dabei die Geschwindigkeit eines Punktes.

Wichtige, nicht zur Differential- und Integralrechnung gehörende, Ergebnisse von Newtons Forschungen waren das Newtonsche Näherungsverfahren, welches zur Bestimmung von Nullstellen benutzt wurde, und die Erkenntnis der Gravitation und die dazugehörige Gravitationstheorie.

Nach der Revolution 1688 in England wurde Newton zum Abgeordneten der Universität ins Parlament gewählt. 1696 wurde er, von einem Nervenleiden geheilt, an die Londoner Münze (Britanniens Münzgießerei) berufen und im Jahr folgendem zum königlichen Münzmeister ernannt. Im selben Jahr wählte ihn die Pariser Akademie zum auswärtigen Mitglied, 1703 die Londoner Royal Society zu ihrem Präsidenten. Newton hielt dieses Amt bis zu seinem Tod 1727. Er wurde in der Westminster Abbey beigesetzt.

Gottfried Willhelm Leibniz

Geboren: 1. Juli 1646 in Leipzig

Gestorben: 14. November 1716 in Hannover

Leibniz, Sohn eines Notars, reiste 1672 in diplomatischer Mission nach Paris, und blieb dort bis 1676. 3 Jahre vorher wurde er in London Mitglied der Royal Society. 1675 entwickelte er, unabhängig von Newton, die Differenzial- und Integralrechnung (Infinitesimalrechnung). 1676 rief ihn Herzog Johann Friedrich von Braunschweig-Lüneburg an den Hof nach Hannover um als Rat und Bibliothekar zu arbeiten. Dort blieb er bis zu seinem Tod.

Königin Sophie Charlotte verwirklichte einige Jahre später Leibniz` Lieblingsidee, die moderne Wissenschaft in Akademien zu fördern, in der 'Societät der Wissenschaften', die später 'Preußischen Akademie der Wissenschaften' genannt wurde und  von Friedrich dem Großen neu eröffnet worden ist. Doch Leibnitz' Bemühungen, weitere Wissenschaftsakademien in anderen Städten zu errichten, scheiterten.

Sein Hauptanliegen in der Mathematik war die Differential- und Integralrechnung. 1684 wurde zum ersten Mal eine Zusammenfassung der Differential- und 1686 der Integralrechnung herausgegeben. Darin formulierte er die Definitionen für die Begriffe "Differential" und "Integral", führte das Symbol "d" für das Differential und das Zeichen "" für das Integral ein. Außerdem erklärte er die Differentationsregeln für Summe, Produkt, Quotient, beliebige Potenzfunktionen und zur Berechnung der Wendepunkte.

Leibniz war es, der Begriffe, wie "Differential", "Differentialrechnung", "Funktion", "Variable", "Konstante", "Koordinate", eingeführt hatte.

Gottfried Willhelm Leibniz hat bei seinen Studien eine Formel für "die n-te Ableitung des Produkts zweier Funktionen f und g an jeder Stelle, an der f und g beide n-mal differenzierbar sind"(Zitat: Mathematik Differential- & Integralrechnung vers.1.0), gefunden. Und genau diese Formel ist als die Leibnizsche Formel bekannt geworden, sie lautet: "". (Zitat: Mathematik Differential- & Integralrechnung vers.1.0)

Und diese Formel bringt uns gleich weiter zu anderen Formeln der Integral und Differentialrechnung, welche Leibniz zum Teil auch selber entdeckt und erforscht hat.

Allgemeine Integral- und Differentialgleichungen

Stammfunktion:   "F:x→F_(x) mit xiJ heißt Stammfunktion einer auf J   definierten Funktion f, wenn für alle xiJ gilt: F'_(x)=f_(x).

Ist F Stammfunktion von f, dann ist dies auch x F_(x)+c mit cgR.

Die Menge aller F heißt auch unbestimmtes Integral von f, geschrieben . Wobei dx das Zeichen für das Differential ist." (Zitat: Sieber Mathematische Formeln)

Integral:                   "Es ist a,b,xgJ,f stetig auf J (Hauptsatz)." (Zitat: Sieber Mathematische Formeln)

Integrationsregel:    | für

Summenregel:        

Faktorregel:(cgR)   

Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen mit 2 Schnittstellen:

Beobachtung:           Die Integration ist die Umkehrung der Ableitung.

Beispiel für eine Integrationsaufgabe

Aufgabe:

Gesucht wird der Flächeninhalt des Bereiches, der durch die folgenden beiden Kurven begrenzt ist: und .

Berechnung:

Berechnung der Schnittstellen von f(x) und g(x):

Die Schnittstellen von und sind S₁=0 und S₂=3.

Berechnung der Nullstellen von und :

                                                                     

Die Nullstellen von sind N₁=0 und N₂=2. Die Nullstelle von ist N₃=0=N₁.

Berechnung der Stammfunktion von und :

                                                                  

Die Stammfunktion von heißt . Die Stammfunktion von heißt .

Berechnung der Fläche durch Integration:

Zusammenfassend will ich hier meine Ergebnisse dieser Aufgabe noch einmal darlegen: Die Aufgabe lautete: Finden Sie den Flächeninhalt A der Funktionen und in dem Bereich zwischen ihren Schnittpunkten. Daraufhin habe ich die Schnittpunkte der Graphen bestimmt, sie lauten: S₁=0 und S₂=3. Danach musste ich die Nullstellen der Graphen bestimmen, damit ich die korrekten Intervalle für positive und negative Integrale erhalte. Die Nullstellen lauteten: N₁=0 und N₂=2. Im Anschluss habe ich die Stammfunktionen der Graphen f(x) und g(x) bestimmt, damit ich die korrekten Funktionsformeln in die Integration einsetzen kann. Die Stammfunktionen lauteten: und . Danach konnte ich die Stammfunktionen in die Integrationsformel mit den Intervallen einfügen, natürlich unter Berücksichtigung der Nullstellen. Und nun am Ende habe ich das Ergebnis der Integration als Integral der zwischen den Graphen eingeschlossenen Fläche A erhalten. Und A lautet 4,5. Das heißt es sind 4,5 Flächeneinheiten zwischen den Graphen f(x) und g(x) eingeschlossen.

Grafik:

England versus Festland

Im Laufe des 17. Jahrhunderts war es hin und wieder zum Streit über mathematische Entdeckungen zwischen den englischen Wissenschaftlern und denen des Festlands gekommen. Besonders Stark war ein Streit, der unter dem Namen Prioritätsstreit bekannt wurde, und in dem es um die Entdeckung der Infinitesimalrechung ging. Leibniz wurde des Diebstahls (genauer: Abschreibens) bezichtigt. Es gelang jedoch erst viel später zu beweisen, dass Newton und Leibniz unabhängig voneinander zu ihren Ergebnissen kamen. Aber Newton hat es einige Jahre früher als Leibniz geschafft. Allerdings bauten beide auf Ergebnissen von ihren Vorgängern auf, so dass man auch diese noch zu den Entdeckern zählen müsste. Das Kalkül allerdings ist die alleinige Leistung von Leibniz.

Besondere Anregungen zur Differential- und Integralrechnung fand Leibniz vor allem in den Schriften von Pascal. Er hatte die Differential- und Integralrechnung im wesentlichen bereits in Paris fertig entworfen hatte. Leibniz kam, im Gegensatz zu Newton, von der Geometrie weg. Also über das Tangentenproblem, zur Infinitesimalrechnung.

Sein gesamtes Wissen über dieses Thema fasste er, ähnlich wie Newton, zusammen. Außerdem erkannte er, wie wichtig eine einfache Schreibweise ist, die das Wesentliche in knapper Form ausdrückt und eine bequeme Handhabung zulässt. So entwickelte er das Kalkül, das sich rasch durchsetzte und auch heute noch fast unverändert in Gebrauch ist.

Der Calculus (Kalkül)

Der Calculus oder auch das Kalkül von G.W. Leibniz mag sich zwar schnell durchgesetzt haben, aber es gab damals trotzdem schon Kritiken, die das Kalkül nach Leibniz nicht anerkannten (oder es einfach nicht verstanden, Neuerungen zu akzeptieren). In seinem Kalkül ging es großen Teils um unendlich kleine Zahlen (größer als Null), die man bei der Berechnung in ihren Formeln ruhig vernachlässigen könnte. Doch genau diese Begebenheit, heute wissen wir, dass sie wahr ist, konnten einige Wissenschaftler, insbesondere Physiker und Mathematiker nicht begreifen. Leibniz warnte zwar vor übergenauen Kritiken, konnte aber die bereits genannte Klage gegen ihn, in der es unter anderem auch um das Kalkül ging, nicht abwenden. Die Kritik entbrannte vor allem an den unklaren Begriffen der infinitesimalen Größen.

Aber zu seiner Entstehung: Das Kalkül wurde, wie gesagt, von G.W. Leibniz in den Jahren 1675/76 "erfunden", jedoch erst 1684 veröffentlicht. Er beschreibt darin viele infinitesimale Begriffe, besonders, die von der Differential- und Integralrechnung (Leibnizsche Formel). Er hatte wie bereits erwähnt, viele Entdeckungen im Bereich der Mathematik gemacht und auch viele neue Definitionen eingeführt, da lag es doch nah, dass er all seine Arbeiten und Entdeckungen in einem "Buch" (Das Kalkül) zusammenfasste und so mit den vereinfachten Begriffen, wie "Funktion", "Variable", "Konstante", "Koordinate", und so weiter, weiterarbeitete und auch mit seinen Anhängern, Mathematik nach seinem Prinzip betrieb.

Ein anderer Grund für Leibniz' Kalkül war es, seine Theorien zu formulieren, um sie darstellen zu können.

Schlusswort

Es ist sicherlich keine leichte Aufgabe ein Thema, wie die  "Differential- und Integralrechnung bei Leibniz und Newton" möglichst mathematisch relevant auf 10 bis 15 Seiten darzulegen. Die Schwierigkeit liegt unter anderem darin, aus der Menge an Informationen, die Stücke herauszusuchen, die mathematisch und ,in diesem Fall auch, geschichtlich interessant und vor allem relevant sind. Ich habe versucht, die wichtigsten Themen möglichst übersichtlich darzulegen (siehe Inhalt). Daher sind einige Themen, die die "Differential- und Integralrechnung bei Leibniz und Newton" betreffen, nicht genannt. So gibt es zum Beispiel noch einige interessante Anwendungen, wie die Bewegung eines Punktes in der Landschaft; das Ziel meiner Facharbeit ist aber, einen Eindruck zu schaffen von den Problemen und Erfolgen, die beide Wissenschaftler in ihrer mathematischen Laufbahn bewältigt haben. Ich habe mich nur um den mathematischen Teil der Geschichte von Newton und Leibniz gekümmert, weil ich es nicht als bedeutsam betrachtet habe große Worte über die diplomatischen, juristischen oder philosophischen Qualitäten von Sir Isaac Newton und Gottfried W. Leibniz zu verlieren. Sicher, dann wäre der Text länger geworden, doch haben diese Themen nichts mit meiner Aufgabe zu tun.

Mein Anwendungsbeispiel habe ich eingebracht, weil ich demonstrieren wollte, wie Newton beziehungsweise Leibniz eine Differential- und Integralrechnung gelöst haben könnte.

Neu war für mich persönlich auch, die genauen Quellenangaben der verwendeten Literatur, die ich bei vorherigen Arbeiten für die Schule in dieser Form noch nicht gewohnt war. Bei den Recherchen habe ich auch im Internet gesucht.

Im Vergleich zu anderen Facharbeiten aus der Mathematik sind in dieser wenig veranschaulichende Bilder, Grafiken, Diagramme, etc. und viel Text vorhanden. Dies ist auf das, an sich sehr abstrakte, Thema zurückzuführen.

Quellen

o      Lehrbuch der Analysis (Teil 2), (H. Heuser), 6. Auflage; S. 656-680

o      Die Infinitesimalrechnung, (Keil, Kratz, Müller, Wörle), 2. Auflage; S. 341-344

o      Mathematik Differential- & Integralrechnung vers.1.0 (Stichwort: Einführung), (Bilder von Leibniz und Newton)

o      Die große CD-ROM InfoThek 2001 (Stichworte: Leibniz, Newton, Infinitesimalrechnung)

o      Winfunktion 8.0 (Stichwort: Integration) (Grafik der Aufgabe)

o      http://www.fundus.org