Eine eindeutige Abbildung einer Menge X auf eine Menge Y heibt FUNKTION

Eine eindeutige Abbildung einer Menge X  auf eine Menge Y heißt

FUNKTION

Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f  [D(f)], ihre Elemente werden Argumente genannt.

Die Menge Y heißt Wertebereich der Funktion f  [W(f)], ihre Elemente werden Funktionswerte genannt.

Eine Funktion ist demnach eine Menge geordneter Paare (x;y), wobei jedem Argument xID(f) genau ein Funktionswert yIW(f) zugeordnet wird.

Die Zuordnung eines Funktionswertes y zu dem Argument xID(f) wird bei der Funktion f durch

f: x y = f(x)            x D(f)

oder kurz:  y = f(x) x D(f)

ausgedrückt.

(1) Häufigste Art der Angabe einer Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist eine Funktionsgleichung und die Angabe des Definitionsbereichs.

Zusammenhang zwischen Funktion und Gleichung

Funktionen

Es gibt Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung mit zwei Variablen angegeben werden kann. Es gibt aber auch Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift durch Wertetabellen, Graphen, oder auch "Wortvorschriften" gegeben ist.
Gleichungen

Es gibt Gleichungen, die als Zuordnungsvorschrift für Funktionen aufgefaßt werden können (z.B. lineare Gleichungen mit zwei Variablen). Es gibt aber auch Gleichungen, die nicht als Zuordnungsvorschrift für Funktionen aufgefaßt werden können. (z.B. sind x = 5 oder x² + y² = 16 keine eindeutigen Zuordnungsvorschriften)

Für Funktionen, die durch eine Gleichung und die Angabe des Definitionsbereichs beschrieben sind, ist die Menge der geordneten Paare, die die Funktion darstellt, genau die Lösungsmenge der Gleichung (mit zwei Variablen).

(2) Funktionen können in einem ebenen kartesischen Koordinatensystem (Rene Descartes, 1596 bis 1650) grafisch dargestellt und damit veranschaulicht werden.

Da eine Funktion eine Menge geordneter Zahlenpaare ist, und da jedem geordneten Zahlenpaar (x;y)If im kartesischen Koordinatensystem eindeutig ein Punkt P(x/y) der Ebene zugeordnet werden kann, kann eine Funktion durch eine eindeutig bestimmte Punktmenge veranschaulicht werden, die Graph der Funktion (Funktionskurve) genannt wird.

(3)Ein Element x_N des Definitionsbereiches einer Funktion f heißt Nullstelle der Funktion, wenn f(x_N)=0 ist.

Zur Ermittlung der Nullstellen einer Funktion ist die Gleichung f(x)=0 zu lösen, d.h. die Nullstellen der Funktion f sind alle reellen Lösungen der Gleichung f(x)=0.

Einfache Nullstellen können als Abszisse der Schnittpunkte, zweifache Nullstellen als Abszisse der Berührungspunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse veranschaulicht werden.

(4) Eine Funktion f heißt konstant, wenn es ein Element c mit f(x)=c für alle xID(f) gibt.

(5) Eine Funktion, deren Definitonsbereich D(f) die Menge N (nat. Zahlen) ist, heißt Folge. Sie wird eine reelle Zahlenfolge genannt, wenn der Wertebereich W(f) eine Teilmenge von R (reelle Zahlen) ist. Jedes Element des Wertebereichs heißt Glied der Folge.

(6) Eine Funktion f  mit D(f) R und W(f) R heißt reelle Funktion.

Einteilung der reellen Funktionen

(1) Übersicht:

Reelle Funktionen

elementare Funktionen nichtelementare Funktionen

transzendente Funktionen        algebraische Funktionen

rationale Funktionen             irrrationale Funktionen

ganzrationale Funktionen        gebrochenrationale Funktionen

(2) Eine reelle Funktion f heißt elementar, wenn sie sich mit Hilfe endlich vieler Verknüpfungen u v, u^.v, u:v, u v aus Potzenz-, Exponential- Winkelfunktionen und deren Umkehrfunktionen in Form einer Gleichung darstellen läßt. Andernfalls heißt sie nichtelementar. (z.B. f(x) = x xIR ist nichtelementar)

(3) Eine elementare Funktion algebraisch, wenn die Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung gegeben ist, in der mit den Variablen in den Termen nur algebraische Operationen, Potenzieren und Radizieren ausgeführt werden.

[Einschränkungen: Divisor 0, Potenz- und Wurzelexponent IN, Radikant R^-]

Nichtalgebraische elementare Funktionen heißen transzendent. (z.B. Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen)

(4) Eine algebraische Funktion heißt rational, wenn die Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung gegeben ist, in der mit den Variablen endlich viele rationale Rechenoperationen

(+,-,^.,: (Divisor 0)) ausgeführt werden.

Nichtrationale algebraische Funktionen heißen irrational. (z.B. Wurzelfunktionen)

(5) Eine rationale Funktion heißt ganzrational, wenn sie sich in der Form

u(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + + a₁x + a₀ = a_ixⁱ      (i,n IN und a_iIR)

darstellen läßt.

Eine gebrochenrationale Funktion f(x) läßt sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen u(x), v(x) darstellen.

mit v(x)

Allgemeine Eigenschaften reeller Funktionen

Umkehrfunktion

Da jede Funktion eine eindeutige Abbildung ist, gibt es zu jeder Funktion eine Umkehrabbildung (inverse Abbildung), die nicht unbedingt auch eine Funktion sein muß. Ist jedoch die Umkehrabbildung eine eindeutige Abbildung, also eine Funktion, so heißt sie Umkehrfunktion (inverse Funktion) zur Funktion f und wird mit f ^-1 bezeichnet.

Eine Funktion, die eine Umkehrfunktion besitzt, heißt umkehrbare Funktion. Sie ist eine eineindeutige Funktion. Die Funktionen f und f ^-1 sind zueinander invers:

In ein und demselben Koordinatensystem werden zwei zueinander inverse Funktionen y = f(x) und
x = f ^-1(y) durch denselben Graphen dargestellt, nur Definitionsbereich und Wertebereich sind gegeneinander vertauscht. Werden jedoch die Variablen in der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion x = f ^-1(y) nachträglich vertauscht [also y = f ^-1(x)], dann ist der Graph der Funktion f ^-1 das an der 1. Mediane gespigelte Bild der Funktion f.

Jede streng monotone Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion einer streng monoton wachsenden (fallenden) Funktion ist wieder eine streng monoton wachsenden (fallenden) Funktion, d.h., die Eigenschaften der strengen Monotonie von f überträgt sich wegen der Eindeutigkeit von f auf die Umkehrfunktion f ^-1.

Monotonie

Wenn für eine reelle Funktion f für alle x₁<x₂ aus einem Intervall gilt:

f(x₁) f(x₂)                                 f(x₁) f(x₂)

so heißt die Funktion in diesem Intervall

monoton wachsend monoton fallend

Wird f(x₁) = f(x₂) ausgeschlossen, gilt also die strenge Bedingung

f(x₁) < f(x₂) f(x₁) > f(x₂)

so heißt die Funktion in diesem Intervall

streng monoton wachsend streng monoton fallend

Beschränktheit

Eine reelle Funktion f mit y=f(x) heißt in einem Intervall

nach unten beschränkt, nach oben beschränkt,

wenn es eine reelle Zahl k_u bzw. k_o gibt, so daß für alle x aus diesem Intervall gilt

f(x) k_u.   f(x) k_o.

Dann heißt für diese Funktion in diesem Intervall

k_u eine untere Schranke. k_o eine obere Schranke.

Dann gilt auch, daß jedes

k_u' < k_u eine untere Schranke k_o'> k_o eine obere Schranke

ist.

Unter diesen Schranken heißt die

größte die untere Grenze G_u kleinste die obere Grenze G_o

Besitzt eine reelle Funktion f in einem Intervall sowohl eine untere Schranke k_u als auch eine obere Schranke k_o, gilt also k_u f(x) k_o für alle x aus diesem Intervall, so heißt die Funktion beschränkt in diesem Intervall.

Symmetrieeigenschaften

(Gerade und ungerade Funktionen)

Eine reelle Funktion f mit y=f(x) heißt

gerade, ungerade,

wenn für alle xID(f) mit D(f)=R gilt

f(-x) = f(x). f(-x) = -f(x).

Zu jedem Punkt auf dem Graphen der Funktion f existiert dann ein zweiter Punkt, der

achsensymmetrisch zur y-Achse zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung

liegt, so daß für den Graph der Funktion

die y-Achse die Symmetrieachse der Koordinatenursprung das Symmetriezentrum

ist.

Periodische Funktionen

Wenn es zu einer reelle Funktion f eine reelle Zahl p>0 gibt, so daß für alle xID(f) gilt: f(x) = f(x+p), so heißt die Funktion periodisch und p eine Periode von f. Gibt es dabei eine kleinste Zahl p>0,die die Bedingung f(x) = f(x+p) für alle xID(f) erfüllt, so heißt p die primitve (oder kleinste) Periode von f.

BEISPIEL:

Die Funktion f(x)=sinx ist eine Priodische Funktion, denn es gilt für alle xID(f): sinx=sin(x+k^.2p) mit kIZ. Die primitive Periode ist p=2p

Rationale Funktionen

Durch Anwendung endlich vieler rationalen Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation auf das Argument x entsteht ein Term der Form

a₀ + a₁x + a₂x² + + a_n-1x^n-1 + a_nxⁿ      mit a_n

Polynom n-ten Grades in x genannt, dem umkehrbar eindeutig eine Funktion f zugeornet werden kann, so daß für alle xIR gilt:

f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + + a₁x + a₀ = a_ixⁱ        mit i,n IN, a_iIR und a_n

Diese Funktion heißt ganzrationale Funktion, wobei n Grad und a_i Koeffizienten der Funktion f genannt werden.

[Jede konstante Funktion f(x)=c (cIR) ist eine ganzrationale Funktion 0-ten Grades,]

Jede ganzrationale Funktion ist stetig.

Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades hat n Nullstellen, die nicht alle reell zu sein brauchen und von denen einige auch mehrfache Nullstellen sein können. In mehrfache Nullstellen berührt der Graph der Funktion die x-Achse.

Ist der Grad n ungerade, so ist die Funktion unbeschränkt und hat mindestens eine Nullstelle.

Ist n gerade, so ist die Funktion einseitig beschränkt. Sie hat entweder keine reelle Nullstelle oder eine gerade Anzahl von Nullstellen.

Hat eine ganzrationale Funktion genau n reelle Nullstellen x₁, x₂, . x_n, so kann sie als Produkt von n Linearfaktoren dargestellt werden:

f(x) = a_n^.(x-x₁)^.(x-x₂)^. . ^.(x-x_n)

Eine Funktion heißt rationale (gebrochenrationale) Funktion, wenn sie als Quotient zweier ganzrationale Funktion u(x) und v(x) dargestellt werden kann, so daß gilt:

mit v(x)

Die Funktion f mit f(x) =   ist für m=0 eine ganzrationale Funktion.

Ist m>n, dann heißt f: echt gebrochen

Ist dies nicht der Fall, kann die Funktion f (nach dem Verfahren der Division eines Polynoms durch ein Polynom) als Summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochen Funktion dargestellt werden.

Ganzrationale Funktionen:

(1) Funktionen mit einer Gleichung der Form f(x)=xⁿ sind für nIN ganzrationale Funktionen und heißen Potenzfunktionen. Die Graphen der Potenzfunktionen y=f(x)=xⁿ (xIR, nIN) heißen Parabeln n-ten Grades.

Gerade Potenzfunktionen Ungerade Potenzfunktionen

y=f(x)=xⁿ=x^2m (m=1,2,3) y=f(x)=xⁿ=x^2m-1 (m=1,2,3)

m=1: y=x1. Mediane

Gemeinsame Eigenschaften der Kurvenscharen

Wertebereich: 0 y<+ Wertebereich: - <y<

nach unten beschränkt unbeschränkt

achsensymmetrisch zur y-Achse zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung

streng monoton fallend für x streng monoton wachsend für alle xIR

streng monoton wachsend für x 0

Verlauf im 2. ind 1. Quadranten Verlauf im 3. ind 1. Quadranten

Gemeinsame Punkte aller Graphen

P₀(0/0); P₁(1/1); P₂(-1/1) P₀(0/0); P₁(1/1); P₂(-1/-1)

(Mehrfache) Nullstellen haben alle Funktionen im Ursprung.

(2) Funktionen mit einer Gleichung der Form f(x)=a₁x+a₀ (a₁,a₀IR; a₁ 0) [meist: y=kx+d], also Funktionen 1-ten Grades, heißen lineare Funktionen. Der Koeffizient a₁ heißt Anstieg. Es gilt a₁=tanj, wenn j die Größe des Winkels zwischen dem Graphen der linearen Funktion und der positiven Richtung der x-Achse ist.

Die Graphen linearer Funktionen sind Geraden.

Die lineare Funktion ist nicht beschränkt.

Der Graph einer linearen Funktion f(x)=a₁x+a₀ geht aus dem Graphen der Funktion f₀(x) =a₁x durch Verschiebung um a₀ in Richtung der positiven (a₀>0) bzw. negativen (a₀<0) y-Achse hervor.

Die Nullstelle einer linearen Funktion f(x)=a₁x+a₀ wird als Lösung der linearen Gleichung a₁x+a₀=0 ermittelt:

(3) Funktionen mit einer Gleichung der Form f(x)=a₂x² + a₁x + a₀ (a₂,a₁,a₀IR; a₂ 0), also Funktionen 2-ten Grades, heißen quadratische Funktionen. Man nennt a₂x² das quadratische Glied, a₁x das lineare Glied und a₀ das absolute Glied der quadratische Funktion. Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln (2-ten Grades).

Durch den Koeffizienten a₂>0 wird der Graph der Funktion y= a₂x² gegenüber dem Graph der Potenzfunktion y=x² einer Streckung in Richtung der positiven y-Achse unterworfen. Ist a₂>1 (a₂<1), wird der Graph gegenüber dem Graph von y=x² gedehnt (gestaucht). Die Parabeln sind nach oben geöffnet.

Ist der Koeffizienten a₂<0, erfolgt eine Streckung in Richtung der negativen y-Achse und eine Spiegelung an der x-Achse. Die Parabeln sind nach unten geöffnet.

Die quadratische Funktion ist nach unten (a₂>0) oder nach oben (a₂<0) beschränkt. Die untere bzw obere Grenze nennt man Scheitel der Parabel. Der Scheitel stellt ein relatives Extremum der Funktion dar, d.h. die Tangente in diesem Punkt an den Graphen der Parabel ist parallel zur x-Achse.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x)=a₂x² + a₁x+a₀ werden als Lösungen (x₁;x₂) der quadratischen Gleichung a₂x² + a₁x+a₀=0 ermittelt:

            

Der Term wird als Diskriminante D bezeichnet.

Ist D>0, so existieren zwei reelle Nullstellen, d.h. der Graph der Parabel schneidet in den beiden Punkten N₁(x₁/0) und N₂(x₂/0) die x-Achse.

Ist D=0, so existiert nur eine (zweiwertige) Nullstelle, d.h. x₁=x₂ (N₁=N₂=N) und der Graph der Parabel berührt in N die x-Achse (der Scheitel der Parabel liegt in N).

Ist D<0, so existieren keine Nullstellen, d.h. der Graph der Parabel liegt zur Gänze über oder zur Gänze unter der x-Achse.

Der Scheitel S(x_S/y_S) der Parabel wird durch Ermitteln des relativen Extremums (Anstieg=0) bestimmt:

Gebrochenrationale Funktionen:

Eine Funktion f heißt gebrochenrational, wenn sie als Quotient zweier ganzrationale Funktion u(x) und v(x) dargestellt werden kann, so daß gilt:

mit v(x)

(1) Der Definitionsbereich umfaßt im allgemeinen den Bereich der reellen Zahlen, jedoch ist die Funktion f für solche Argumente x_P nicht definiert, für die v(x_P)=0 und u(x_P) 0 ist. An diesen Stellen ist der Graph der Funktion unterbrochen. Solche Argumente heißen Polstellen der Funktion. Die Senkrechte zur x-Achse mit der Gleichung x=x_P ist die Asymptote des Graphen. Der Graph der Funktion kommt bei Annäherung an die Polstellen der Asymptote beliebig nahe.

(2) Nullstellen der gebrochenrational Funktion f sind solche Argumente x_N, für die u(x_N)=0 und v(x_N) 0 gilt.

(3) Bei unbeschränkt wachsendem (bzw. fallendem) x kommt der Graph der Funktion f  der Geraden mit der Gleichung x=x_P beliebig nahe. Diese Gerade ist eine Asymptote der Kurve.

Da sich jede gebrochenrational Funktion f mit mit Hilfe der Division u(x):v(x) in eine Summe aus einer ganzrationale Funktion g und einer echt gebrochenrational Funktion h umformen läßt [f(x)=g(x)+h(x)], und eine echt gebrochenrational Funktion h für sich der x-Achse beliebig nähert, ist der Graph von g Asymptote für den Graph der Funktion f.

(4) Die einfachsten Vertreter gebrochenrationaler Funktionen sind die Potenzfunktionen y=f(x)=xⁿ mit xIR, x 0, nIZ und n<0. Die Graphen dieser Potenzfunktionen mit negativ ganzzahligen Exponenten heißen Hyperbeln n-ten Grades.

Eigenschaften dieser Potenzfunktionen:

Ungerade Funktionen Gerade Funktionen

y=f(x)=xⁿ, n -1, n ungerade                       y=f(x)=xⁿ, n -2, n gerade

Gemeinsame Eigenschaften der Kurvenscharen

Wertebereich: - <y<0 und  0<y<+ Wertebereich: 0<y<+

unbeschränkt nach unten beschränkt

zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung achsensymmetrisch zur y-Achse

streng monoton fallend für x<0 und für x>0 streng monoton wachsend für x<0

streng monoton fallend für x>0

x- und y-Achse sind Asymptoten; zwei getrennte Aste

Verlauf im 3. ind 1. Quadranten Verlauf im 2. ind 1. Quadranten

Gemeinsame Punkte aller Graphen

P₁(1/1); P₂(-1/-1) P₁(1/1); P₂(-1/1)

Irrationale Funktionen

Nichtrationale algebraische Funktionen werden auch als irrationale Funktionen bezeichnet. Es sind dies die Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (z.B. Wurzelfunktionen).

Nach Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit rationalen Exponenten durch (x>0; xIR; p,qIZ; q>0) können Potenzfunktionen f mit f(x)=xⁿ mit (p,qIZ; q>0; q,p teilerfremd) untersucht werden.

Diese Funktionen sind:

- bei p>0 für alle nichtnegativen Zahlen,

- bei p<0 für alle positiven Zahlen

definiert.

Spezielle Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten sind die Wurzelfunktionen.

Jede Funktion f mit (x 0, nIN, n 2) heißt Wurzelfunktion. Sie können als die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen g mit g(x)=xⁿ mit x 0, nIN und n 2 aufgefaßt werden. Die Funktionen g und f sind zueinander invers (f=g^-1).

Zum Bilden der Umkehrfunktion muß

a) - der Definitionsbereich von g(x)=xⁿ in Monotonieintervalle zerlegt werden (Forderung nach der Eindeutigkeit von g) und

b) - die Definition der n-ten Wurzel (für nichtnegative Radikanten) beachtet werden.

Für geradzahliges n gibt es für jedes der beiden Monotonieintervalle - <y 0 und 0 y<+ der Potenzfunktion y=xⁿ eine Wurzelfunktion bzw. im Intervall 0<x< . Ihre Graphen sind Parabeläste, axialsymetrisch zur x-Achse gelegen.
Für ungeradzahliges n gibt es im gesamten Definitionsbereich eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion. Sie kann aber nicht geschlossen durch eine Gleichung dargestellt werden. Sie wird für x 0 durch und für x<0 durch beschrieben.

BEISPIEL

Die Funktion f mit f(x)=x² hat zwei Monotonieintervalle. Deshalb gibt es zwei Umkehrfunktionen:

Mit x 0 und y 0 ist die Umkehrfunktion u(x)=f ^-1(x)= mit x 0 und y

Eigenschaften der Funktion u:

monoton wachsend

nach unten beschränkt, G_u=0

Nullstelle x_N=0

Der Graph der Funktion u verläuft im 1.Quadranten.

Mit x 0 und y 0 ist die Umkehrfunktion v(x)=f ^-1(x)= - mit x 0 und y

Eigenschaften der Funktion v:

monoton fallend

nach oben beschränkt, G_o=0

Nullstelle x_N=0

Der Graph der Funktion v verläuft im 4.Quadranten.

(2) Die Umkehrfunktion für Funktion f mit f(x)=x³ kann nicht durch eine Gleichung beschrieben werden. Die zu f(x)=x³ inverse Funktion ist:

Eigenschaften der Funktion g:

streng monoton wachsend

unbeschränkt

ungerade Funktion

Nullstelle x_N=0

Der Graph der Funktion g verläuft im 3. und 1.Quadranten. Er ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Transzendente Funktionen

Transzendente Funktionen sind nichtalgebraische Funktionen, d.h. Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift nicht durch eine algebraische Gleichung dargestellt werden kann.

Zu den transzendente Funktionen gehören:

a) - die zueinander inversen Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktion

b) - die zueinander inversen Funktionen Winkel- und Arcusfunktion.

(1) Funktionen f mit f(x)=a^x (aIR, a>0, a 1) heißen Exponentialfunktionen. Sie sind für alle reellen x definiert.

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

Für 0<a<1

streng monoton fallend

nach unten beschränkt, G_u=0

Für a>1

streng monoton wachsend

nach unten beschränkt, G_u=0

Die Graphen der Funktionen verlaufen im 2. und 1.Quadranten und gehen alle durch den Punkt P(0/1). Die x-Achse ist Asymptote an den Graphen der Exponentialfunktion.

Die Graphen der Funktionen f(x)=a^x und g(x)=a^-x liegen achsensymmetrisch zur y-Achse.

Da a^m.aⁿ=a^m+n ist, gilt für jede Exponentialfunktion zur Basis a das Additionstheorem f(x₁)^.f(x₂)=f(x₁+x₂).

Wählt man als Basis einer Exponentialfunktion die Eulersche Zahl , so erhält man die natürliche Exponentialfunktion (f(x)=e^x). Sie hat im Punkt P(0/1) den Anstieg 1, d.h., die Tangente in diesem Punkt an den Graphen der e-Funktion schließt mit der positiven x-Achse den Winkel j=45° ein.

(2) Die zur Exponentialfunktion g mit g(x)=a^x (aIR, a>0, a 1) inverse Funktion heißt Logarithmusfunktion zur Basis a [f(x)=log_ax (xIR, x>0, a>0, a

Eigenschaften der Logarithmusfunktion:

Für 0<a<1

streng monoton fallend

unbeschränkt

Nullstelle x_N=1

Für a>1

streng monoton wachsend

unbeschränkt

Nullstelle x_N=1

Die Graphen aller Logarithmusfunktionen verlaufen im 1. und 4.Quadranten und gehen alle durch den Punkt P(1/0). Die y-Achse ist Asymptote an den Graphen der Exponentialfunktion. Die Graphen der Funktionen f(x)= log_ax und g(x)= liegen achsensymmetrisch zur x-Achse.

Da log_a(x₁^.x₂)=log_ax₁+log_ax₂ ist, erfüllt jede Logarithmusfunktion die Gleichung f(x₁^.x₂)=f(x₁)+f(x₂).

Wählt man als Basis einer Logarithmusfunktion die Eulersche Zahl , so erhält man die natürliche Logarithmusfunktion (f(x)=log_ex=lnx).

(3) Wenn in einer Funktion f mit y=f(x) das Argument x einen Winkel darstellt, heißt diese Funktion eine Winkelfunktion.

Um den Ursprung O eines ebenen kartesischen Koordinatensystems sei ein Kreis mit dem Radius r>0 gezeichnet. Auf der Peripherie befinde sich ein beliebiger Punkt P(u/v). Verbindet man P mit O, so entsteht der orientierte Winkel QOP= x, wobei Q der Fußpunkt des Lotes von P auf die x-Achse sei. Jedem Winkel x können Zahlenverhältnisse zugeordnet werden, die aus der Abszisse u, der Ordinate v des Punktes P und dem Radius r des Kreises gebildet werden (u,v,rIR, r>0).

Das Verhältnis von Ordinate v zum Radius r ist eine reelle Zahl, die mit sin x bezeichnet wird: . Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;sin x) heißt Sinusfunktion, und wird mit y=f(x)=sin x bezeichnet.

Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.

Es gilt daher sin (x+2kp)=sin x  mit kIZ.

Das Verhältnis von Abszisse u zum Radius r ist eine reelle Zahl, die mit cos x bezeichnet wird: . Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;cos x) heißt Cosinusfunktion, und wird mit y=f(x)=cos x bezeichnet.

Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.

Es gilt daher cos (x+2kp)=cos x  mit kIZ.

Sinusfunktion und Cosinusfunktion sind zueinander komplementäre Funktionen (Cofunktionen), d.h., und , da x und komplementäre Winkel sind.

Für beliebige Winkel x gilt: sin² x + cos² x = 1, wobei sin² x = (sin x)² und cos² x = (cos x)² bedeutet.

Das Verhältnis von Ordinate v zu Abszisse u  ist eine reelle Zahl, die mit tan x bezeichnet wird: mit u

Da und ist, kann tan x auch als Quotient von sin x und cos x dargestellt werden: tan x mit cos x

Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;tan x) mit x (2k+1), kIZ heißt Tangensfunktion, und wird mit y=f(x)=tan x bezeichnet.

Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.

Es gilt daher tan (x+kp)=tan x  mit kIZ.

Das Verhältnis von Abszisse u zu Ordinate v ist eine reelle Zahl, die mit cot x bezeichnet wird: mit v

Da und ist, kann cot x auch als Quotient von cos x und sin x dargestellt werden: cot x mit sin x

Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;cot x) mit x kp, kIZ heißt Cotangensfunktion, und wird mit y=f(x)=cot x bezeichnet.

Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.

Es gilt daher cot (x+kp)=cot x  mit kIZ.

Tangensfunktion und Cotangensfunktion sind zueinander komplementäre Funktionen (Cofunktionen), d.h., und (x k, kIZ), da x und komplementäre Winkel sind.

Für beliebige Winkel x mit x k (kIZ), gilt:  tan x ^. cot x = 1.

Nichtelementare Funktionen

Reelle Funktionen f heißen nichtelementar, wenn sie sich nicht mit Hilfe endlich vieler Verknüpfungen u v, u^.v, u:v, u v aus Potzenz-, Exponential- Winkelfunktionen und deren Umkehrfunktionen darstellen lassen.

Die Betragsfunktion b mit ist für alle xIR definiert und es gilt: f(x)

Die Funktion ist in zwei Teilfunktionen b₁ und b₂ zerlegbar, so daß gilt:

b₁(x)= f(x) für alle f(x)

b₂(x)=-f(x) für alle f(x)<0

Die Signumfunktion s mit s(x) = sgn(f(x)) ist für alle xIR definiert und es gilt:

sgn(f(x))=

Die Gaußklammerfunktion g mit g(x) = [x] ist für alle xIR definiert und es gilt:

Ist xIR, so bezeichnet man mit [x] die größte ganze Zahl x.

d.h.: [x] = x, für xIZ,

[x] < x, für xIRZ

Die Heavisidefunktion h mit h(x) = H(x) ist für alle xIR definiert und es gilt:

H(x)=

Die Integerfunktion i mit i(x) = int x ist für alle xIR definiert und es gilt:

int x = [x] für x

int x = [x+1] für x<0

Eine Funktion heißt Treppenfunktion, wenn sie in einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, das in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden kann, in denen die Funktion konstant ist.

Somit sind Signum-, Gaußklammer-, Heaviside- und Integerfunktion Beispiele für Treppenfunktionen, wenn ihre Definitionsmenge auf ein abgeschlossenes Intervall eingeschränkt wird.