Differenzierbarkeit

   (#)

Kettenregel

Beweis:

Ziel ist es, Differenzierbarkeit (s.o.) für f(g(x)) herzuleiten.

Dann erhält man, daß diffbar. ist, und man sieht die gesuchte Formel.

Da nach Voraussetzung f und g (auf entsprechenden Definitionsbereichen) diffbar. sind, läßt sich jeweils (#) anwenden.

Nach Einsetzen, Umformen und zusammenfassen erhält man das gewünschte dann.

Also:

Da g in x₀ diffbar., gilt wegen (#)

 mit

T  mit (1)

Da f diffbar gilt für die Stellen

 mit

Da f diffb. in g(x₀), setze y=g(x), b=g(x₀)

Damit erhält man dann:

   (2)

mit

(1) in (2) einsetzen

Man erhält:

Ausmultiplizieren liefert:

Diese Funktion f(g(x)) ist diffbar., falls t() 0 für x x₀

(Beweis über Grenzwertsätze)

Nun muß man nur noch umformen:

                    

nach Def. der Ableitung

     

T