Differentialgleichungen in der Elektrotechnik

BERUFSBILDENDE SCHULEN DES LANDKREISES

Facharbeit

im Leistungskurs Mathematik

Differentialgleichungen in der Elektrotechnik

1 Vorwort

Ich habe mich bei meiner Facharbeit für das Thema Differentialgleichungen in der Elektrotechnik entschieden. Ich meine das ich so den Nutzen den ich aus dieser

Facharbeit ziehen kann verdoppele , da ich gleich in zwei für mein Abitur und mein

Studium wichtigen Fachbereichen Erfahrungen im Verfassen einer vorwissenschaftlichen Arbeit sammeln kann.

2 Definition Differentialgleichungen

Allgemein ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, in der nicht nur mehrere Variablen sonder auch eine Ableitung(ein Differentialquotient) einer anderen oder der selben Gleichung auftritt . Man unterscheidet dann noch verschiedene Arten von Differentialgleichungen .Es gibt gewöhnliche Differentialgleichungen, bei diesen treten nur Funktionen einer Variablen auf , eine solche Funktion könnte dann z.B. so aussehen:. Alle anderen Differentialgleichungen sind partielle Differentialgleichungen bei ihnen treten mehrere Variable auf , diese Art von

Funktion könnte dann so aussehen . Des Weiteren werden

Differentialgleichungen in Ordnungen eingeteilt , die Ordnung richtet sich dabei nach der höchsten auf tretenden Ableitung . Also wäre z.B. eine Differentialgleichung erster Ordnung , aber eine Differentialgleichung zweiter Ordnung . "Läßt sich eine Differentialgleichung als Polynom in der gesuchten Funktion und ihrer Ableitung schreiben so nennt man die höchst auftretende Summe der Exponenten der Funktion und ihrer Differentialquotienten den Grad der Differentialgleichung . Differentialgleichungen ersten Grades heißen auch

linear ; in ihnen treten die Funktion und ihre Ableitung nur in erster Potenz und nicht miteinander multipliziert auf ."(Mathematik verstehen: Seite 478) . Außerdem unterscheidet man , ob man die Differentialgleichung nach ihrer höchsten Ableitung umstellen kann , dann wird sie explizit genannt, oder ob dies nicht möglich ist, in diesem Fall nennt man sie implizit .

3 Differentialgleichung bei elektrischen Ausgleichsvorgängen

3.1 Allgemeines

Ausgleichsvorgänge bei elektrischen Systemen sind Übergänge von einem zum anderen Zustand , also z.B. Einschalt- und Ausschaltvorgänge . Ausgleichsvorgänge entstehen vor allem bei Systemen in denen ein Energiespeicherelement , z.B. Kondensatoren oder Spulen , vorhanden ist . Die beiden eben genannten Bauelemente sind sich prinzipiell sehr ähnlich , denn in beiden werden Energie gespeichert . Beim Kondensator wird die gespeicherte Energie nach der Formel berechnet , bei einer Spule gilt zur Berechnung der in ihr gespeicherten Energie . Hier sieht man schon die Ahnlichkeit der beiden Bauelemente . Für diese beiden Bauelemente gilt auch das eine plötzliche Anderung der gespeicherten Energie nicht möglich ist . Diese ist so , da für beide Bauelemente gilt , und daher für eine sprunghafte Anderung eine Leistung die tendenziell gegen unendlich gehen müßte nötig wäre . Da dies nicht möglich ist kann man davon ausgehen das die Funktion stetig , also kontinuierlich abläuft . Lineare elektrischen Netzwerken werden mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben , da sie Funktionen einer Variablen sind,hier also z. B. die Spannung u bei bzw. die Stromstärke i bei . Die Ordnung der sich ergebenden Differentialgleichung hängt von der Anzahl der Speicherelemente in der jeweiligen Schaltung ab . Für die Berechnung von Ausgleichsvorgänge geht man im Normalfall nach einem allgemeinen Lösungsansatz vor , der dann bei den folgenden Aufgaben dieser Facharbeit auch angewandt werden wird. Zuerst stellt man die Differentialgleichung für die Schaltung mit hilfe der Kirchhofsschen Gesetze^[1] und der Strom-Spannungs-Beziehungen der einzelnen Bauteile. Danach bestimmt man die Anfangswerte , wobei die Stetigkeit von Strom und Spannung beachten werden muß . Danach löst man die Differentialgleichung mit einem passenden Lösungsverfahren.

(Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.162-163)

3.2 Allgemeine Lösung für Schaltungen mit einem Speicherelemente

"Ausgleichsvorgänge dieser Art lassen sich durch eine imhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung in der Form beschreiben . Wegen der angenommenen Linearität läßt sich die Lösung als Summe eines flüchtigen Anteils

, der sich aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung ergibt , und einer partikularen Lösung , die sich aus der stationären Teilwirkung ermitteln läßt , zusammensetzen . "(Lehr-und Übungsbuch Mathematik : S.163). Nun löst man die Differentialgleichung in dem man sie so umstellt das und alleine stehen . Nun erhält man eine Formel die folgendermaßen aussieht ,um nun die Lösung zu erhalten löst man die Differentiale durch integrieren auf , und erhalt die folgende Formel . Nun löst man die Logarithmierung auf und erhält die Lösung .Jetzt muß man die Lösung für die neu entstandene Konstante k finden. Die Lösung wird mit hilfe der Anfangswerte gefunden , denn es gilt . Jetzt setzt man die Lösung in die Gleichung ein und ersetzt die Konstante k durch , so erhalt man die Lösung . Man muß noch erwähnen das der Anfangswertaus den Vorgaben der Schaltung , also aus den Bauteilen hervorgeht . Der stationäre Wert geht aus der Betrachtung des gesamten Netzwerkes hervor und muß extra berechnet werden. (Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.163-164)

4 Anwendung von Differentialgleichungen in der Elektrotechnik mit Gleichstrom

4.1 Aufladen eines Kondensators

Ein ungeladener Kondensator wird in reihe mit einem Widerstand zum Zeitpunkt t=0 an eine Gleichstromspannungsquelle angeschlossen¹. Nun sollen alle Spannungen und alle Strome berechnet werden .Nun wendet man zuerst den zweiten Kirchhoffschensatz und erhält so die Gleichung . Die Stromstärke an einem Kondensator wird mit der Formel berechnet, diese setzt man nun in die vorherige ein und erhält so . Da beim Kondensator gilt , kann man dies in der Formel ergänzen und erhält so . Nun gibt es zwei Möglichkeiten die Differnetialgleichung zu lösen , zum einen kann man die Aufgabe umstellen oder man wendet die Allgemeine Lösung für die Aufgabe an . (Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.164-165)

4.1.1 Lösung durch umstellen der Aufgabe

Zu nächst stellt man die eben oben erarbeitete Lösung so um , dass die Variablen und auf einer Seite der Gleichung stehen . Man erhält so die Gleichung diese löst man nun mit einem kleinen Trick , man wendet nämlich einen Substitution an . Die Substitution für diesen Fall lautetmit ihr erhält man durch Differenzierung außerdem. Nun setzt man die Gleichungen in ein erhält so , wobei das Minus schon gleich auf die andere Seite der Gleichung gebracht wird , damit man einfacher integrieren kann . Nun wird die gesamte Gleichung , wie schon erwähnt , integriert . So erhält man dies ergibt dann nach der Integrierung die Gleichung . Jetzt löst man bei der eben errechneten Formel die Logarithmen auf und so ergibt sich . Nun muß man nur wieder durchersetzen und erhält dann . Jetzt muß man nur noch die Konstante k herausfinden , dies macht man wieder mit Hilfe der Anfangswerte . Die allgemeine Formel für k ist ,angewandt auf diese Aufgabe ergibt sich

Zum Zeitpunkt t=0 ist , denn wenn man noch keine Spannung an den Kondensator angeschlossen hat , gibt es am ungeladenen Kondensator keinen Potentialunterschied , also auch keine Spannung . Aus der konstanten Spannungergibt sich . Fügt man diesen Wert in die Gleichung ein ergibt sich stellt man die Gleichung nun nach um , ergibt sich , nach dem Ausklammern , die Gleichung . Nun muß man nur noch den Strom ausrechnen , der Strom durch einen Kondensator wird allgemein nach der Formel berechnet . Mit berechnet man nun . Für ergibt sich dann , nachdem man die Formel füreingesetzt hat,daraus folgt die Formel zur Berechnung des Stromes . (Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.164-165)

4.1.2 Anwendung der allgemeinen Lösung

Die Allgemeine Lösung für eine Ausgleichsschaltung mit einem Speicherelelment ist , wie schon in Kapitel 3.2 beschrieben, die Gleichung um nun eine Lösung zu erhalten , muß man nur noch die Anfangswerte und den stationären Wert bestimmen . Da wir für unsere Aufgabe annehmen , ergibt sich für , da die Spannung am Kondensator zum Zeitpunkt t=0 gleich 0 ist . Der stationäre Wert ist in diesem Fall gleich , denn wenn man einen Kondensator unendlich lang lädt entspricht seine Spannung der Speisespannung. Da der Wert für die Spannungsquelle konstant ist , ergibt sich . Setzt man nun diese Werte in die allgemeine Lösung ein , ergibt sich . Klammert man nun noch aus ergibt sich die zuvor schon errechnete Lösung . Der Strom wird wieder sowie in Kapitel 4.1.1 beschrieben berechnet , da es die gleiche Gleichung ist . (Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.166)

4.2 Entladen eines Kondensators über einem Wiederstand

Der nun folgende Vorgang ist der erste Ausschaltvorgang in dieser Arbeit . Der Lösungsansatz ist prinzipiell der Gleiche wie bei Einschaltvorgängen , nur dass nun die Spannung stetig abnimmt . Bei diesem Vorgang sind wieder die Strom- und Spannungsverläufe am Kondensator gesucht . Die Schaltung für diesen Vorgang sieht folgendermaßen aus : ein geladener Kondensator wird mit einem Wiederstand in Reihe geschaltet¹ . Bei dieser Schaltung ist die Spannung über dem Kondensator vor dem Entladen gleich der Spannung mit der er aufgeladen wurde , also gilt zum Zeitpunkt t=0. Nun beginnt man die Schaltung über die allgemeine Lösung zu lösen . Nun muß man , wie schon zuvor die Anfangswert und bestimmen. Für diese Schaltung gilt für y zum Zeitpunkt t=0 also ist . Der stationäre Wert dieser Gleichung ist Null , da der stationäre gleich zum Zeitpunkt ist , und am Kondensator nach unendlich langer Entladung keine Spannung mehr ansteht . So ergibt sich und da wir von der Stetigkeit von ausgehen , auch .Setzt man nun die Anfangswerte in die allgemeine Formelein so erhält man die Formel . Löst man diese Gleichung erhält man die Lösung für den Spannungsverlauf an einem sich entladenden Kondensator . Der Strom an einem sich entladenden Kondensator wird wieder mit der zuvor schon hergeleiteten Formel berechnet (Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.166-167).

4.3 Einschalten einer Spule

Beim Anlegen einer Spannung an einer Spule¹ erzeugt diese , sobald ein Strom fließt , ein magnetisches Feld , das dem Stromfluß durch die Spule entgegen wirkt . Dieser Vorgang laufen proportional zur zeitlichen Veränderung des Stroms ab , sie kann daher mit einer Differentialgleichung beschrieben werden . Für unsere Aufgabe gilt folgende Schaltung : die Spule wird an eine verlustfreie Spannungsquelle angeschlossen und in reihe mit dem Widerstand geschaltet ³ . Die für die Elektrotechnik entscheidenden Werte sind die Strom- und Spannungsverläufe an der Spule . Für die Schaltung gilt nach den Kirchhofschensatz . Jetzt ersetzt man ,nach dem Ohmschengesetz⁴, durch und durch die Stromspannungsbeziehung der Indukttivität. So entsteht die Formel . In diese muß man nun einsetzen . Man erhält so die Formel . Diese löst man nun nach auf und erhält so eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung ,die wie folgt aussieht . Da der Stromverlauf bei dieser Schaltung durch eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung beschrieben wird , kann man sie mit der allgemeinen Lösung (siehe 3.2 ) berechnen . Die allgemeine Lösung angewandt auf diese Aufgabe sieht wie folgt aus . Nun muß , man wider die Anfangswerte und bestimmen . Da der Strom durch die Induktivität als stetig angenommen wird , gilt für die Schaltung, dass der Strom zum Zeitpunkt gleich Null ist , denn wenn noch keine Spannung anliegt kann auch kein Strom fließen , das heißt . Der stationäre Zustand ist gleich dem Strom der nach unendlich langer Zeit fließt , das heißt er ist gleich Spannung geteilt durch Wiederstand . Als Gleichung für ergibt sich also . Da der stationäre Werte ist zeitunabhänig , ergibt sich . Setzt man nun die Anfangswerte in die Gleichung ein , erhält man die Gleichung für den Stromverlauf . Nun kann man noch heraus kürzen und erhält so die Gleichung . (Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.167-169) Nun muß man nur noch die Spannung berechnen , dies ist in diesem Fall relativ einfach , denn man muß nur die Kirchhofschengesetze anwenden . Wendet man die Gesetze an so erhält man die Gleichung . Nun ersetzt man nach dem ohmschen Gesetz durch die bekannte Größen und und stellt gleichzeitig die Gleichung nach um . Auf diese Weise erhält man die Gleichung für den Spannungsverlauf an der Spule

5 Differentialgleichung für Schaltungen mit zwei Speicherelementen

5.1 Allgemeine Lösung

"Sind zwei ungleichartige Speicherelelmente oder gleichartige Speicherelemente , die sich nicht durch Reihen-oder Parallelschaltung zusammenfassen lassen , vorhanden , so wird der Ausgleichsvorgang durch eine lineare Differetialgleichung 2.Ordnung beschrieben . Die Lösung der Differentialgleichung läßt sich wieder aus der flüchtigen Lösung und der partikulären Lösung zusammensetzen . Die flüchtige Lösung erhält man aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung ."(Lehr - und Übungsbuch Mathematik :S.171). Nun setzt man in die Gleichung für die folgende Gleichung ein ein und erhält dann , nach der Integration und dem Auflösen der Logarithmen , die Gleichungen zur Bestimmung von

Jetzt wendet man die PQ-Formel an und erhält so die Lösung für nämlich

und .(Inhalt vgl. Lehr -und Übungsbuch Mathematik : S.171-172) "Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung muß zwei unbestimmte Konstanten enthalten . Dies ist durch Linearkombination der Teillösungen zu erreichen . Die allgemeine Lösung des flüchtigen Anteils lautet demnach . In Abhängigkeit von unterscheidet man verschiedene Fälle , die durch die Wurzelausdrücke und bestimmt werden und zu folgenden Lösungen führen :

a), d. h.und reell ; aperiodischer Fall

b), d.h.und reell ; aperiodischer Grenzfall c), d.h.und konjugiert komplex ;gedämpfte Schwingung ist der Nullphasenwinkel und die Eigenfrequenz

d) ;ungedämpfte Schwingung ist die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ,= Nullphasenwinkel der ungedämpften Schwingung .

Zur Bestimmung der Konstanten bzw. und benutzt man die Anfangsbedingungen und , die aus dem Zustand der beiden Energiespeicher im Schaltmoment ermittelt werden können . Setzt man sie in die flüchtige Lösungen bzw. deren Ableitungen ein , so ergibt dies für die einzelnen Fälle :

a) und

b) und

c) und

d) und Die partikuläre Lösung hängt von der Gestalt der Störfunktion ab . Für die wichtigen Fälle und können sie aus den Netzwerkbetrachtungen für den stationären Fall für ermittelt werden . "

(Lehr - und Übungsbuch Mathematik:S.172-174).

5.2 Entladung eines Kondensators über einer Spule

In der folgenden Schaltung wird ein Kondensator C auf die Spannung aufgeladen , und dann über einer Spule mit Induktivität S und dem Innenwider entladen¹ . Die gesuchten Größen dieser Schaltung sind der zeitliche Verlauf der Spannung über dem Kondensator und der Entladestrom des Kondensators . Wendet man nun , wie schon zuvor , die Kirchhofsschengesetze auf die Schaltung an , ergibt sich für die Masche folgende Gleichung . Die Stromspannungsbeziehungen der Bauelemente

und sind und . Da in dieser Schaltung aller Bauelemente in Reihe geschaltet sind , gilt für den Strom , d.h. es gibt nur einen Strom in der Schaltung . Deswegen kann man die Ströme in und durch ersetzen . Wenn man nun diese in die Gleichung einsetzt erhält man die Gleichung . Diese Gleichung kann man nun in die Grundform der allgemeinen Gleichung umwandeln . Durch umstellen ergibt sich dann die folgende Gleichung . Nun bestimmt man die Anfangswerte , in diesem Fall ist die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt gleich der Ladespannung . Der andere Anfangswert ergibt sich aus der Annahme das zum Zeitpunkt kein Strom durch die Schaltung fließt , da der Schalter noch nicht geschlossen ist . Es gilt also . Nun müssen nur noch und bestimmt werden , diese geschieht in dem man die Koeffizienten der Gleichung der allgemeinen Lösung und der Gleichung für die Schaltung vergleicht . So ergeben sich folgende Werte und .(Inhalt vgl. Lehr- und Übungsbuch Mathematik :S.174-175 " wird als Dämpfungsfaktor bezeichnet . entspricht der Resonanzfrequenz des entstandenen Schwingkreises . Führt man als Güte des Schwingkreises ein , so läßt sich der Zusammenhang zwischen und für in der Form schreiben ."(Lehr-und Übungsbuch Mathematik : S.175). Nun muß man zur weiteren Berechnung feststellen wie der entlade Verlauf abläuft , aperiodisch oder als gedämpfte Schwingung . Wenn für gilt , , liegt der aperiodische Fall vor . Ist hingen gleich so liegt der aperodische Grenzfall vor , wenn aber fürgilt so läuft der Entladevorgang als gedämpfte Schwingung ab .

Da der Wert von von den Werten einer realen Schaltung abhängig ist , kann man nur einmal jeden Fall mit willkürlichen Wert durch rechen . Die Werte für sind im weiteren a) , b)und c)so werden alle drei Möglichkeiten einmal exemplarisch berechnet .

a) daraus folgt , das ist und das der aperiodische Fall vorliegt . Nun setzt man die Werte in die Gleichungen für ) und ) , ein . Man erhält dann folgende Werte und . Die Werte für und setzt man nun mit den Anfangsbedingungen , und , in die Gleichung für ) und ) ein . Für und ergeben sich dann folgende Werteund . Nun setzt man die eben errechneten Konstanten in die allgemeine Lösung des flüchtigen Anteils ein . So erhält man die folgende Lösung für den flüchtigen Lösungsanteil , nämlich

Der Stromverlauf der Schaltung ist

b) daraus folgt , das gilt , es liegt der aperiodische Grenzfall vor . Mit den allgemeinen Lösungen und erhält man ,nach einsetzen der Anfangsbedingungen und ,die Lösung und . Setzt man nun diese Werte in die allgemeine Lösung ein erhält man die Lösung für , nämlich und durch einsetzen dieser Lösung in die Gleichung für erhält man den Zeitverlauf des Stromes

c) Q=1 daraus folgt der weiter Verlauf ist eine gedämpfte Schwingung . Mit der allgemeinen Formel für Omega erhält man für Omega die folgende Lösung .Setzt man nun Omega in die allgemeine Gleichung für ein , so erhält man für , unter Beachtung der Anfangswerte und , den Wert . Nun berechnet man den Nullphasenwinkel nach der Gleichung , wieder unter Beachtung der Anfangswerte und . Für ergibt sich der Wert . Jetzt setzt man die eben gefundenen Werte in die allgemeine Gleichung ein , und erhält so die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator .Somit sind alle möglichen Verlaufe beschrieben und nun kann man den jeweils passenden Verlauf für die reale Schaltung auswählen.(Inhalt vgl. Lehr - und Übungsbuch Mathematik : S174-176)

6 Schlußwort

Ich fand mein Facharbeitsthema alles in allem sehr interessant , es vermittelte mir viele Einblicke in die mathematischen Hintergründe der Elektrotechnik . Ich glaube das ich das Thema im Rahmen der Facharbeit gut umriss , aber ich möchte trotzdem noch anmerken , das Differentialgleichgen fast überall in der Elektrotechnik angewandt werden . Alle diese Themen zu bearbeiten würde aber deutlich den Rahmen dieser Facharbeit übersteigen , deshalb entschied ich , mich bei meinen Ausführungen auf die Ausgleichsvorgänge zu beschränken . Ich meine , dass diese sehr anschaulich die Anwendung der Differentialgleichgen in der Elektrotechnik veranschaulichen .

Literaturverzeichnis :

Paul Latussek . "Lehr-und Übungsbuch Mathematik."-Leipzig ; Köln : Fachbuchverlag Leipzig. NE: Mathematik Bd.5 Einführung in die Numerische Mathematik , Fehleranalyse , komplexe Zahlen , Gleichungen und Gleichungssysteme , gewöhnliche Differentialgleichgen , Fourier-Reihen , Funktionstransformation : mit zahlreichen durchgerechneten Beispielen . -1992 ISBN 3-343-00812-5

Robert Müller-Fonfara . "Mathematik verstehen" Niederhausen : Falken-Verlag: