Berechnung von Polynomen

Berechnung von Polynomen

Aufgabe:

f sei eine Polynomfunktion 3. Grades. G_f verläuft durch P(1/4). W(3/6) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit der Abszisse 4 verläuft waagerecht. Bestimme den Funktionsterm.

Diskussion:

Allgemeine Funktionsgleichungen

f(x) = ax³ + bx² + cx + d                    allgemeiner Funktionsterm

f'(x) = 3ax² + 2bx + c  1. Ableitung

f''(x) = 6ax + 2b                                2. Ableitung

Umsetzen der Bedingungen - Aufstellung des Gleichungssystems

f(1) = 1a + 1b + 1c + d = a + b + c + d = 4

f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 6

f'(4) = 48a + 8b + c = 0

f''(3) = 18a + 2b = 0   a = 1 b = -9 c = 24 d = -12

I.     a + b + c + d = 4

II.   27a + 9b + 3c + d = 6

III. 48a + 8b + c = 0

IV. 18a + 2b = 0

II - I:               26a + 8b + 2c = 2 /:2

V. 13a + 4b + c = 1

III - V:             35a + 4b = -1

VI. 35a + 4b = -1

Lösen des Gleichungssystems

Auflösen von IV nach b:        b = -9a

Einsetzen von b in VI:     35a + 4(-9a) = -1

35a - 36a    = -1

a = 1

b = -9 , da b = -9a

Einsetzen von a, b in V:   13 - 36 + c = 1

c = 24

Einsetzen von a, b, c in I: 1 - 9 + 24 + d = 4

d = -12

Funktionsterm:          f(x) = x³ - 9x² + 24x - 12